Rayon de convergence

Salut à tous, voilà dans un de mes exos on me demande de calculer le rayon de convergence des séries entières obtenues à partir de $cos(z), sin(z), sinh(z)$ et $cosh(z), z \in \C$
J'ai trouvé comme rayon de convergence $+\infty$ dèjà je ne suis pas sûr de mon résultat (si possible le confirmer ;p ...)
J'ai utilisé le critère de Cauchy et j'ai du utilisé la formule de stirling, $n! = (\frac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}$ cependant je trouve la méthode un peu laborieuse n'y a-t-il pas un autre moyen d'aboutir au résultat (si évidemment je ne me suis pas trompé dans les calculs) ou est-t-on obligé de passer par Stirling ??

Réponses

  • Oupss doublon à supprimer dslé
  • Et le critère d'Alembert
  • Malheureusement alembert on peut pas l'appliquer car les séries entieres on obtient des coeffs &quotnon continus"
    Par exemple cosinus on a :
    $cos(z)= \sum_{k \geq 0} \frac{1}{(2k)!}z^{2k}$
    blabla
    donc il faut poser
    $ a_n = \frac{ (-1)^k }{ (2k)! } $ si $n=2k$ 0 sinon
    et donc on peut pas utiliser alembert non ?
  • Malheureusement alembert on peut pas l'appliquer car les séries entieres on obtient des coeffs "non continus"
    Par exemple cosinus on a :
    $cos(z)= \sum_{k \geq 0} \frac{1}{(2k)!}z^{2k}$
    blabla
    donc il faut poser
    $ a_n = \frac{ (-1)^k }{ (2k)! } $ si $n=2k$ 0 sinon
    et donc on peut pas utiliser alembert non ?
  • deux possibilités :
    1) Appliquer la règle de Cauchy-Hadamard en utilisant la formule de Stirling
    2) partir de l'exponentielle.
  • Merci aleg, mais pourrais tu expliquer un peu plus la seconde méthode, je vois pas du tout...
    Et sinon j'ai d'autre questions !!
    J'arrive pas à trouver deux séries entières f et g telle que $R(f)=0=R(g)$ et $R(f+g)=+\infty$.... Y a une astuce ou un raissonnement spécial car ^j'ai essayer en tatant... mais bon je vois pas ! (j'ai essayé cosinus sinus exponentielle, factoriel... mais je seche !)
    Et enfin je n'arrive pas calculer une limite, au départ j'ai la série :
    $\sum_{n \geq 1} (e-\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}) z^n$

    J'applique Cauchy hadammard et j'arrive au calcul d'une limite :

    $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sum_{k\geq n+2} \frac{ (n+1)!}{k!}}$
    Et la je bloke totalement !
    Merci de m'indiquer une tite piste !

    PS Comment on fait pour étudier la convergence Simple sur la frontiere ? (dans les books c'est toujours la convergence absolue non ?)
  • Et si $g=-f$ ?
  • Micke,
    il me semblait avoir répondu à ta question initiale qui était de déterminer le rayon de convergence des séries entières qui définissent les fcts usuelles associées à l'exponentielle.
    il est clair que, si deux séries entières ont des rayons de CV égaux à $+\infty $ alors leur somme a un rayon de CV égal à $\infty $
  • Merci aleg !
    Mais $R(f)=0=R(g)$ pas $\infty$ !!
    Mais c'est vrai que si l'on prend $g=-f$ alors on obtient la somme nulle qui converge partout !
    Y aurait pas un exemple un peu moins trivial ?

    Et sinon personne n'a d'idée pour la limite de ma somme ?

    Amicalement
    Micke
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