Taylor

jérémy2
jérémy2
dans Les-mathématiques
Bonjour,
<BR>
<BR>J'ai des difficultés à faire l'exercice suivant, en lien avec notre cours actuel, à savoir les formules de Taylor.
<BR>Voici l'énoncé:
<BR>
<BR> <B>1°) </B> <I>Montrer que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="289" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/19/82921/cv/img1.png&quot; ALT="$ \forall t \in ]-1,00,+\infty[, \frac{t}{1+t} < ln(1+t)<t$"></SPAN>
<BR>
<BR> <B>2°) </B> En déduire que pour tout entier <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/19/82921/cv/img2.png&quot; ALT="$ n$"></SPAN>,
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="189" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/19/82921/cv/img3.png&quot; ALT="$ (1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$"></SPAN> </I>
<BR>
<BR>Merci d'avance.<BR>

Réponses

  • borde
    borde
    Faut-il vraiment utiliser Taylor ? La première question se traite aisément avec (par exemple) deux études de fonctions sur l'ensemble indiqué. La seconde provient de la première en l'utilisant avec $t = 1/n$.

    Borde.
  • jérémy2
    jérémy2
    Euh ... mais en faisant comment avec cette étude de fonction?
    De plus, est-ce faisable avec Taylor (le prof apprécierait je pense ... ^^)
  • borde
    borde
    Etudier les fonctions $f : t \mapsto t _ \ln(t+1)$ et $\displaystyle {g : t \mapsto \frac {t}{1+t}}$ sur $]-1,0[ \cup ]1, + \infty[$. Ce travail est accessible avec un niveau terminale.

    Pourquoi faire compliqué quans cela n'est pas nécessaire ?

    Borde.
  • jérémy2
    jérémy2
    Et à partir de ces études, comment parvient-on à déduire l'inégalité demandée?
  • borde
    borde
    Etudier les fonctions $f : t \mapsto t - \ln(t+1)$ et $\displaystyle {g : t \mapsto \frac {t}{1+t}}$ sur $]-1,0[ \cup ]1, + \infty[$. Ce travail est accessible avec un niveau terminale.

    Pourquoi faire compliqué quans cela n'est pas nécessaire ?

    Borde (doublon à virer. Merci).
  • borde
    borde
    {\bf Exemple}. La fonction $f$ définie ci-dessus est bien entendu dérivable sur l'ensemble $]-1,0[ \cup ]0, + \infty[$, et on a : $$f'(t) = 1 - \frac {1}{1+t} = \frac {t}{1+t}.$$ Ainsi, $f$ admet un minimum en $0$ valant $0$, ce qui implique que $f(t) \geqslant 0$ pour tout réel $t \geqslant 0$, l'égalité étant atteinte en $t=0$.

    Borde.
  • borde
    borde
    {\bf Exemple}. La fonction $f$ définie ci-dessus est bien entendu dérivable sur l'ensemble $]-1,0[ \cup ]0, + \infty[$, et on a : $$f'(t) = 1 - \frac {1}{1+t} = \frac {t}{1+t}.$$ Ainsi, $f$ admet un minimum en $0$ valant $0$, ce qui implique que $f(t) \geqslant 0$ pour tout réel $t > - 1$, l'égalité étant atteinte en $t=0$.

    Borde (doublon à virer. Merci !).
  • jérémy2
    jérémy2
    ok! Mais alors? Comment cela prouve-t-il l'inégalité?!
    Je ne vois pas du tout ..
  • jérémy2
    jérémy2
    Parce que là, on a montré que $\frac{t}{1+t}>0$, mais comment parvenir à $\frac{t}{1+t} < ln(1+t)
  • borde
    borde
    La stricte positivité de $f$ équivaut à dire $\ln(t+1) < t$. Une étude similaire pour $g$ donne l'autre inégalité.

    Borde.
  • jérémy2
    jérémy2
    Et pourquoi ça?
  • jérémy2
    jérémy2
    Je ne vois pas pourquoi ..
  • borde
    borde
    $f(t) = t - \ln(t+1) > 0 \Longleftrightarrow t > \ln(t+1)$...

    Borde.
  • Glat0
    Glat0
    Sinon tu peux appliquer l'inégalité des accroissements finis à une fonction bien choisie
  • ibnhayyan
    ibnhayyan
    1) Soit la fonction t--> ln(1+t)
    Elle est définie sur -1 ouvert jusqu'a l'infini.
    Si on lui applique Taylor au voisinage de 0 à l'ordre 1,on se ramène au théorème des accroissements finis (le réél c est compris entre 0 et t).
    1<1+c<1+t donc t/(1+t)<t/(1+c)<t d'ou le résultat.

    2)Désolé, je ne vois pas.
  • borde
    borde
    ...Je suis un peu stupéfait de lire tous ses posts sur une question simple, dont les réponses ont été données dès le début !

    Me serais-je mal fait comprendre ?

    Borde.
  • jp8
    jp8
    C'est le sujet, Taylor, ça attire les foules !

    Sinon, je crois Borde, que ta fonction $g$ n'est pas la bonne, il doit manquer un terme.
  • borde
    borde
    Oui, et c'est peut-être cela la raison de ce malentendu. Il faut lire en effet $\displaystyle {g : t \mapsto \ln(t+1) - \frac {t}{t+1}}$.

    Merci à jp !

    Borde.
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