Analyse fonctionnelle

jérémy2 · March 2006

Voici un petit exo sur lequel je sèche un peu. Auriez-vous des idées svp ?

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $C^0([0,1],\R)$ sur lequel les normes $\|~.~\|_{\infty}$ et $\|~.~\|_2$ sont équivalentes. Montrer que $F$ est de dimension finie et que si $\|~.~\|_{\infty} \leq c\|~.~\|_2$, alors $dim~F \leq c^2$.

J'aimerais caractériser la dimension finie de manière satisfaisante mais je ne connais pas de théorème là-dessus, si ce n'est celui de Riesz sur la compacité de la sphère unité.

Merci

Guego0 · March 2006

De mémoire, c'est un théorème de Grothendieck (du temps où il faisait de l'analyse fonctionnelle). Tu peux le trouver dans le Rudin d'analyse fonctionnelle.

jérémy2 · March 2006

Merci Guego.

Tµtµ · March 2006

On prend $f_i$, i=1..n une famille orthnormée pour $ \Vert~.~\Vert _2$

$ \Vert~ \sum a_i f_i \Vert~ _{\infty} \leq c \cdot \sqrt{\sum {a_i}^2}$, $\forall a_i$

On prend un $x$, et (astuce) on prend $a_i = f_i(x)$ ça donne que :

$ \Vert~ \sum {f_i(x)}^2 \Vert~ _{\infty} \leq c \cdot \sqrt{\sum {f_i(x)}^2}$

Reste à intégrer entre $0$ et $1$ en se rappelant que $f_i$ est ortho.

jérémy2 · March 2006

Merci tµtµ, c'est exactement ce dont j'avais besoin !

pat4 · March 2006

bonjour, voici deux questions supplementaires pour completer ton exercice :

2) cette propriete caracterise en fait les sous espace de fonctions continues sur $[0,1]$ fermés dans $L^2([0,1])$.

3) le resultat tombe en defaut si $F$ est un sous espace de fonctions continues sur $]0,1]$ ie il existe des sous-espaces de $\mathcal C(]0,1])$ fermes dans $L^2([0,1])$ qui sont de dimension infinie.

Analyse fonctionnelle

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