Holomorphie

Averse0
Averse0
dans Les-mathématiques
Dans mon cours on suppose dans la définition qu'une fonction holomorphe est $\mathcal{C}^1$ au sens réel pour faire tomber plus vite l'analycité, et ainsi le caractère $\mathcal{C}^{\infty}$...

On sait qu'une fonction holomorphe est $\R$-différentiable mais quid de $\mathcal{C}^1$ au sens réel ?

Merci d'avance.

Réponses

  • AG0
    AG0
    Dans mon souvenir, une fonction de $/mathbb C$ dans $/mathbb C$ qui est $/mathbb C$-derivable l'est necessairement une infinite de fois. C'est vrai que, si l'on suppose d'emblee les derivees partielles continues, cela simplifie les preuves, mais ce n'est pas necessaire. J'espere que ca repond a ta question.

    algebrogirl.
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    On peut aussi assez facilement trouver une primitive d'une fonction holomorphe, qui est elle-meme une fonction holomorphe et elle est de la bonne classe. Le caractere analytique de cette derniere entraine le resultat pour sa derivee, la fonction de depart.
  • Averse0
    Averse0
    Donc tu veux dire qu'on récupère le caractère $\mathcal{C}^1$ réel ?
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour


    La définition d'une fonction homomorphe sur un ouvert est qu'elle y soit dérivable au sens complexe,
    on ne postule pas la continuité des dérivées partielles par rapport à x et y

    Avec cette définition générale ,la démonstrations de l'analyticité est plus complexe,voir par exemple

    la théorie des fonctions analytiques de H cartan page 70



    Cordialement
  • Averse0
    Averse0
    J'ai compris cette chose, je sais que l'analycité tombe normalement quand on a démontré le théorème de Cauchy. Ce qui confère le caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ au sens complexe et donc une infinité de fois $\R$-~différentiable.

    Ma question est plus stupide je crois. Je voulais savoir : est ce que la continuité des $D^{k}f(z)$ entraine la continuité des $D^{k}f(x,y)$ ?
  • AG0
    AG0
    hello,

    reponse: oui.
  • Averse0
    Averse0
    Ma réponse serait oui puisque la topologie usuelle qu'on a sur $\C$ est exactement celle de $\R^2$ euclidien.
  • Averse0
    Averse0
    Merci AG, Llautard, bosio frederic ! Je viens de faire un pas gigantesque (sic)

    Cela fait plusieurs jours que je bassine mes collègues avec ceci. Le cours de fonctions holomorphes me paraissait biscornu avec toutes ces manières de le présenter...Et il est essentiel de comprendre le fond des choses.
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Si quelqu'un pouvait rappeller pourquoi ce serait sympa. Merci.
  • Averse0
    Averse0
    Pourquoi quoi ?
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Pourquoi quoi quoi ? Trêve de plaisanterie, j'aimerais savoir si quelqu'un pouvait nous donner un lien où on montre proprement l'équivalence des deux définitions possibles d'une fonction holomorphe à savoir:

    1)une fonction est holomorphe si elle est C1 et vérifie les équations de Caychy Riemann

    2)une fonction est holomorphe si elle est différentiable et vérifie les équations de Cauchy Riemann.

    Comment montrer l'équivalence entre ces deux définitions ?
  • Averse0
    Averse0
    Quoi quoi quoi !! Je dirais plutôt :

    Soit $\Omega$ un ouvert de $\C$, et $f:\Omega\rightarrow\C$ une application, on dit que $f$ est holomorphe sur $\Omega$ si $f$ est $\C$-~dérivable sur $\Omega$.

    En écrivant la $\C$-dérivabilité de $f$ en un point $a=x+iy$ de $\Omega$ on a :
    $$f(a+h)=f(a)+hDf(a)+o(h)$$

    Si on considère $f$ comme une fonction de deux variables réelles, cela nous montre clairement que $f$ est $\R$-différentiable en $(x,y)$. Et que $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a)=Df(a)$, $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a)=iDf(a)$ De ce fait $$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a)+i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a)=0$$ (qu'on appelle condition de Cauchy-Riemann).

    Réciproquement, supposons $f$ $\R$-différentiable en $a\in\Omega$ et vérifiant Cauchy-Riemann en $a$, prenons $h=u+iv\in\C$ assez petit et : $$f(a+h)=f(a)+u\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a)+v\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a)+o(h)$$

    Mais $u\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a)+v\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a)=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a)$ d'après Cauchy-Riemann donc cela prouve que $f$ est $\C$-dérivable en $a$.

    On a montré qu'une fonction est holomorphe en un point si et seulement si elle y est différentiable au sens réel et vérifie C-R en ce point.

    Mais, dans certains cours on suppose dans la définition même que les dérivées partielles (au sens réel) sont continues. Car ainsi on peut démontrer l'analycité de suite. Mais au fond une fonction holomorphe est $\mathcal{C}^{\infty}$ au sens complexe, donc une infinité de fois différentiable au sens réel et la continuité des dérivées partielles vient tout droit de la continuité de la dérivée complexe avec leurs relations exprimées plus haut.

    Merci et désolé pour la longueur.
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