Volume

pour la première question, je ne comprends pas bien cette histoire de "boîte".
la figure que tu nous montres est-elle la base de cette "boîte" ? En ce cas, je ne vois pas ce qu'est la hauteur.
Je pense qu'il manque qq informations : peux-tu vérifier les indications fournies par l'énoncé de ton problème?

pour la deuxième question, oui : tu as raison. Tu dérives, tu étudies le signe de de la dérivée (signe d'un polynôme du second degré) puis tu fais un tableau de variations.

La base est un carré d'aire : l*x
Or 30=2x+2l
donc l=15-x
La hauteur de la boite est 30-2x
c'est pourquoi V=l*x*(30-2x)=(15-x)*x*(30-2x) et c'est bien le résultat voulu.
Cordialement
Teddy

apparemment, la petite difficulte consiste a trouver la longuer du grand rectangle de la base (appelons cette longueur l )

tu remarques que $2\times l + 2 \times x =30$ donc $l=\frac{30-2x}{2}=15-x$. donc au fianl, le volume vaut :
$$V(x)=(30-2x)(15-x)x$$
soit :
$$2x^3-60x^2+450x$$

pour trouver la maximum du volume, il faut effectivement commencer comme pour un tableau de variation, cad trouver les points en lesquel la derivée s'annule :

$$V'(x)=6x^2-120x+450$$

c'est une equation de degré 2, qui a donc au maximum 2 solutions. il te suffit de les calculer, et de determiner laquell correspond a un maximum. ( remarque que tu peux tout diviser par 6... donc ton equation revient exactement a resoudre $x^2-20x+75=0$, pour laquelle tu as $\Delta=100$, donc a priori ca te donne une jolie solution entiere... )

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