intégrale à paramètre

mikael3
mikael3
dans Les-mathématiques
bonsoir,

est ce que quelqu'un pourrait m'indiquer le bon changement de variable ou la bonne methode pour etudier la limite ( l'equivalent ) quand $ \lambda \rightarrow 1 $, $ \lambda < 1 $ de

$ \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)(1-\lambda^2 t)}} $

car la je coince un peu ( meme beaucoup d'ailleurs )

d'avance merci

Réponses

  • jean Lismonde0
    jean Lismonde0
    bonjour

    lorsque lambda tend vers 1 à gauche l'intégrale diverge en effet elle devient de la forme

    intégrale de 0 à 1 de dt/[(1-t)rac(t)]

    qui diverge à cause de la borne supérieure

    cordialement
  • mikael3
    mikael3
    si on appelle $ f(t,\lambda) $ ce qui est sous l'integrale, on constate que $ f $ est croissante par rapport à $ lambda $ et $ f $ positive, on peut donc appliquer le théorème de convergence monotone pour toute suite $ (\lambda_n)_n $ croissante convergente vers 1 et en echangeant limite et integrale, on trouve $ + \infty $.
    maintenant pour l'equivalent, si quelqu'un peut m'aider...
  • mikael3
    mikael3
    mais c pas moi qui est posté ca, qu'est ce qui s'est passé ???
  • mikael3
    mikael3
    si on appelle $ f(t,\lambda) $ ce qui est sous l'integrale, on constate que $ f $ est croissante par rapport à $ lambda $ et $ f $ positive, on peut donc appliquer le théorème de convergence monotone pour toute suite $ (\lambda_n)_n $ croissante convergente vers 1 et en echangeant limite et integrale, on trouve $ + \infty $.
    maintenant pour l'equivalent, si quelqu'un peut m'aider...
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Michael c'est moi qui ai posté ce message dans le topic de Cedric et il n'est pas passé, je ne comprends pas pourquoi il est passé sous ton pseudo !!! Il se passe des trucs bizarres ici :p
  • bisam
    bisam
    Apparemment, l'équivalent serait en $\ln(1-\lambda)$ d'après Maple. Mais j'avoue qu'il passe par des intégrales elliptiques...et que ça me rebute en première approche.

    Mais en 2ème approche, j'ai tenté le changement de variable (miraculeux) $$u=argsh \left(\sqrt{\frac{1}{t}-1}\right)=\ln \left( \sqrt{\frac{1}{t}-1}+\sqrt{\frac{1}{t}}\right)$$ce qui permet de retomber sur l'intégrale suivante $$\int_0^{+\infty} \frac{2}{\sqrt{\cosh^2(u)-\lambda^2}}du$$... mais je ne sais pas si ça aide vraiment.
  • bisam
    bisam
    Pour répondre à Toto, quand 2 personnes postent simultanément (je ne sais pas si c'est à la seconde près... c'est diablement empirique) il arrive que l'un des posts se perde voire qu'ils se mélangent...

    Je crois qu'il faut rester humble devant ce genre de choses et ne pas trop chercher à comprendre !
  • bisam
    bisam
    Il faut corriger ce que j'ai dit plus haut : l'équivalent est bien sûr en $-\ln(1-\lambda)$ (c'est mieux lorsque c'est positif !)
  • Probaloser
    Probaloser
    Au culot : le $\sqrt{t}$, on s'en fiche. Une fois viré ce facteur, l'expression est primitivable.

    (Sans aucune vérification...)
  • jean Lismonde0
    jean Lismonde0
    bonjour

    ton intégrale paramétrée en lambda est une intégrale elliptique mais qui ne rentre pas dans la classification établie par le mathématicien français Legendre, même si elle est proche de la première espèce de ces elliptiques

    intégrale de 0 à x de dt/rac[(1-t²)(1-k²t²)]

    trouver un équivalent en lambda est donc entrer dans une "terra incognita"

    bon courage
  • JJ
    JJ
    Bonjour,

    je suis d'accord avec Jean Lismonde : c'est en effet une intégrale elliptique.
    Mais je ne suis pas d'accord pour dire qu'elle est "terra incognita" : en faisant le changement t=sin²(x), on revient à la forme standard qui donne 2*K(m) avec m=(lambda)²
    (ou, avec des notations différentes selon les auteurs, p²=m, ici p=lambda )
    K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.
    Quoi qu'il en soit, lorsque lambda tend vers 1, l'intégrale n'est pas convergente et tend vers +infini (de même que K(m) tend vers l'infini lorsque m tend vers 1).
  • JJ
    JJ
    Si on cherche un équivalent au voisinage de lambda=1, le développement en série infinie de la fonction elliptique, qui est bien connu, donne autant de termes que l'on veut.
    En posant L=lambda et q=(1-L²)^(1/2), les premiers termes sont :
    -2 ln(q) +2 ln(4)+(-ln(q)+ln(4)-1)(q²/2)+O(ln(q)*q^4)
    On retrouve bien le premier terme -2 ln(q)=-ln(1-L²) indiqué par Bisam
  • Probaloser
    Probaloser
    Mais c'est pas beaucoup plus simple en giclant le $\sqrt{t}$ ?
  • Mikaël2
    Mikaël2
    je ne sais pas ce qu'est une integrale elliptique, y a t-il un livre ou je peux trouver ca ?
    je precise que l'enoncé est tiré de ARNAUDIES, FRAYSSE Analyse tome 2 p443
    classes preparatoires, donc a mon avis on peut se passer de gros outils, ou alors il faut le redemontrer.
    merci
  • JJ
    JJ
    Il n'y a pas besoin des intégrales elliptiques pour montrer la divergence : Jean Lismonde à donné l'explication dès son premier post. Que voulez-vous de plus ?
    J'ai parlé des intégrales elliptiques en allant au-delà de la question posée, et pour ceux qui sont concernés, ou intéressés, par les fonctions spéciales. Ce n'est pas aux programmes des prépa., que je sache ! Mais cela n'empèche pas certains de vouloir en apprendre plus...
  • Probaloser
    Probaloser
    Mais c'est pas beaucoup plus simple en giclant le $\sqrt{t}$ (vu que personne ne réagit c'est sans doute que je dis une grosse c... mais dans le doute...).
  • JJ
    JJ
    Bonjour,

    La divergence de l'intégrale est assez évidente. Pour être régoureux, on peut en faire diverses démonstrations. L'une d'elle, qui me semble particulièrement simple est détaillée dans la page jointe :4078
  • Probaloser
    Probaloser
    Bon je vais poser ma question plus explicitement : sait-on primitiver simplement
    $$
    t \mapsto \frac{1}{\sqrt{(1-t)(1-\lambda t)}} \; ?
    $$
  • Yalcin
    Yalcin
    Oui c'est possible, Maple donne : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="381" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/15/82576/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \left(-\frac{1}{2}-\frac{a}{2}+at \right)+ \sqrt{1+at^2+(-1-a)t} \right) $"></DIV><P></P>Donc c'est de la forme <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="57" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/15/82576/cv/img2.png&quot; ALT="$ A . \ln(u)$"></SPAN> ce qui est logique un peu.
    <BR>Et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="70" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/15/82576/cv/img3.png&quot; ALT="$ u=v+h$"></SPAN> avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="28" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/15/82576/cv/img4.png&quot; ALT="$ 1/h$"></SPAN> où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/15/82576/cv/img5.png&quot; ALT="$ h$"></SPAN> la fonction que tu as donnée.
    <BR>
    <BR>Cordialement Yalcin<BR>
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Oui c'est possible, Maple donne : $$ \frac{1}{\sqrt{a}} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \left(-\frac{1}{2}-\frac{a}{2}+at \right)+ \sqrt{1+at^2+(-1-a)t} \right) $$ Donc c'est de la forme $A . \ln(u)$ ce qui est logique un peu.
    Et $u=v+h$ avec $1/h$ où $h$ la fonction que tu as donnée.

    Cordialement Yalcin
  • aleg1
    aleg1
    probabloser,
    sauf erreur de ma part, on trouve ta primitive par le changement de variable
    $t=\frac{1}{2\lamba }\,((\lambda -1)\cosh u+(\lambda +1))$, qui nous ramène, en gros, à intégrer du $\frac{1}{\sinh u}$, soit donc $\ln |\tanh \frac{u}{2}|$.
    à vérifier...
  • Probaloser
    Probaloser
    OK merci. Pour l'exercice, il suffit alors de remarquer l'équivalent (quand $\lambda$ tend vers $1$) :
    $$
    \int_0^1 (t(1-t)(1-\lambda^2 t))^{-1/2}dt \sim \int_0^1 ((1-t)(1-\lambda^2 t))^{-1/2}dt.
    $$
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