[Agregint] Diverses notions d'angles

Bonjour

Quelque chose m'embête dans cette leçon : les angles géométriques.

Dans beaucoup d'ouvrages on confond un d'angle géométrique avec sa mesure.
Ex : A,B,C trois points distincts.
Par déf : BÂC=arccos(<AB,AC>/||AB||.||AC||).
C'est très pratique mais le risque est fort de se faire démolir non ?


L'autre solution consiste à définir proprement cette notion comme pour les angles orientés :
Relation d'équivalence sur les couples de vecteurs unitaires :
(u,v) ~(u',v') <=> il existe une isométrie f tel que f(u)=u' et f(v)=v'
Les angles géométriques sont les classes d'équivalences modulo ~.

Comme on a <f(u),f(v)>=<u,v> et on peut alors définir la mesure d'un angle géométrique par le nombre <u,v> puisque celui-ci ne dépend pas du représentant choisi.

C'est jolie et rigoureux mais c'est long :
il faut ensuite parler d'angle géo de 2 vecteurs quelconques, définir un angle ABC pour trois points d'instincts d'un esp affine, exposer les propriétés classiques.
Ensuite il faut parler des angles de droites et on a de nouveau le même problème : définir la notion d'angles de droites par leur mesure est simple et rapide, mais la notion d'angle de droites elle même est plus compliquée et surtout plus longue !


On parle parfois d'écart angulaire, défini aussi avec la fonction arccos, et on évite ainsi soigneusement de confondre angle et mesure d'angle. Cependant on zappe aussi la définition d'angle.


Bref qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance.

ps : Le pire c'est que là on a toujours pas parlé d'angles orientés, d'angles dans l'espace, d'angles polaires.... mais étrangement je trouve que cela pose moins de problèmes...

Réponses

  • L'enseignement sur les angles a eu tandence à se banaliser au cours de ces dernières années, et ce au risque d'introduire des notions plus ou moins floues comme celles que tu évoques.

    Je sais qu'il existe un bon bouquin de Géométrie où ces notions sont abordées de manières rigoureuse. Je pense qu'il s'agit de "Géométrie pour l'élève-professeur".

    Bye
  • Je distinguerais (peut-être) quatre "types d'angles" :

    1. Angles non orientés de demi-droites.
    2. Angles orientés de demi-droites : les mesures sont dans $\R / 2 \pi \Z$.
    3. Angles non orientés de droites : les mesures sont dans $[0,\pi/2]$.
    4. Angles orientés de droites : les mesures sont dans $\R / \pi \Z$.

    A noter, dans les cas non orientés, l'impossibilité ducalcul algébrique.

    Une référence : {\it Géométrie pour le CAPES et l'agrégation}, par ${\bf Guy Laville}, Ellipses.

    Borde.
  • Je distinguerais (peut-être) quatre "types d'angles" :

    1. Angles non orientés de demi-droites.
    2. Angles orientés de demi-droites : les mesures sont dans $\R / 2 \pi \Z$.
    3. Angles non orientés de droites : les mesures sont dans $[0,\pi/2]$.
    4. Angles orientés de droites : les mesures sont dans $\R / \pi \Z$.

    A noter, dans les cas non orientés, l'impossibilité ducalcul algébrique.

    Une référence : {\it Géométrie pour le CAPES et l'agrégation}, par {\bf Guy Laville}, Ellipses.

    Borde.
  • Bonjour.

    Tu peux toujours définir l'angle géométrique d'un couple de vecteurs unitaires $(\vec a,\vec b)$ comme $\{(\vec u,\vec v)|(\vec u |\vec v) = (\vec a |\vec b)\}$. Tu montres aisément que deux couples ont le même angle si, et seulement si, il existe un automorphisme orthogonal qui envoie la première paire de vecteurs sur la seconde. Si tu es dans l'espace, tu montres même que tu peux choisir une automorphisme orthogonal direct, ce qui n'est plus le cas dans le plan ; cette dernière remarque introduit la notion d'angle orienté.

    Bruno
  • Je ne sais pas s'il on a le temps de parler de mesure dans cette leçon. (le mot ne figure pas dans le titre ce qui peut être un indice)
    Une présentation rigoureuse (classes d'equivalence) des angles orientés de droites et des angles de vecteurs et de leurs propriétés avec une ou deux applis me parait déjà suffisant pour 15min bien garnies ?
    Quand à la notion d'angle "géométrique", je ne vois pas bien de quoi il s'agit, je connais angle de droites et de vecteurs (ou demi droites).
  • Bonsoir

    Les angles géométriques sont ceux utilisés au collège : angles non orientés de vecteurs en language plus évolué.

    Pour la mesure je me suis posé aussi la question (mettre ou ne pas mettre, telle est la question).

    Cependant en définissant l'angle nul, l'angle droit et l'angle plat on a déjà pas mal de résultats.

    Si on ne parle pas de mesure il faut trouver une notation "sympatique" :

    0 pour l'angle nul ne me parait quand même pas trop abusif.
    p pour l'angle plat (classe d'équivalence de (u,-u))
    d pour angle droit ?

    P'tit pb pour l'angle droit :
    d=classe d'équivalence de (u,v) tel que (u,v) forme une bon directe.
    En faisant ainsi on est obligé d'orienter le plan, ce qui n'était pas le cas pour 0 et p
    Ou alors :
    u étant fixé, notons v une base de l'orthogonale de u (v unitaire).
    on note d=la classe d'équivalence de (u,v) tel que <u,v>=0,
    et -d=la classe d'équivalence de (u,-v).
    Ainsi on peut se passer d'orienter le plan.


    Je déraille peut-être alors je vais me coucher !
    a+

    (Bizarre quand même de zapper la mesure...)
  • Pour Sisbai.
    <BR>
    <BR>Je ne vois pas pourquoi tu orientes le plan pour parler d'angle droit. C'est la classe des couples de vecteurs unitaires orthogonaux, c'est tout. Au passage, il n'y a nul besoin d'orienter le plan pour parler d'angles orientés ; on sait toujours si deux angles de vecteurs unitaires (uniquement dans un ev euclidien de dimension 2) sont de même sens ou pas : ou bien l'un des deux couples forme un système lié et le problème n'a pas de sens ; ou bien les deux couples forment tous deux une base et il suffit de prendre le déterminant de l'un des couples par rapport à l'autre pour savoir s'ils ont la même orientation ou pas.
    <BR>
    <BR>Pour Greg.
    <BR>
    <BR>Si tu tiens à préciser, il s'agit d'angles géométriques de droites, vecteurs (<B>non nuls</B>) etc. Personnellement, dans mes cours je ramenais tout aux angles de vecteurs unitaires que j'appelle les angles géométriques.
    <BR>
    <BR>Bruno<BR>
  • Bonjour,

    je risquerais, sur le sujet, une référence bibliographique :

    Géométrie pour le capes de mathématiques, Yves Ladegailleire, Ellipse.

    Je l'ai trouvé très bien au sujet des angles. Il couvre largement tout le programme de mathématiques de géométrie de l'interne. Il existe aussi un livre d'exercice.
  • Merci serge2 pour la référence. Il n'est pas interdit pour les oraux ?

    Bruno :
    Tu as écrit :
    "Je ne vois pas pourquoi tu orientes le plan pour parler d'angle droit."

    Tu n'as peut-être pas lu mon mail en entier (ce que je pardonne car je me suis un peu emballé sur la longueur...) car après j'ai proposé une autre façon d'introduire l'angle droit sans orienter le plan ("ou alors..." ligne 16)

    Tu as écrit :
    "ou bien les deux couples forment tous deux une base et il suffit de prendre le déterminant de l'un des couples par rapport à l'autre pour savoir s'ils ont la même orientation ou pas. "

    C'est ce que j'ai fait non ?
    (En me relisant je réalise par contre que je n'ai pas précisé que je travaillais avec les vecteurs unitaires seulement.)

    a+
  • Rebonjour,

    Non il n'est pas interdit à l'oral. Je l'avais l'année dernière aux oraux de l'interne.

    Cordialement.
  • Merci serge2 pour l'info.

    Je l'ai feuilleté l'autre jour mais je n'ai pas osé le prendre pensant qu'il était probablement interdit.

    Je file, j'ai cours...
    a+
  • Pour Sisbai.

    Je n'avais pas compris que tu parlais d'angles orientés et là je ne suis plus du tout d'accord : l'angle droit est un angle géométrique ; c'est la classe de tous les couples de vecteurs unitaires orthogonaux et c'est une notion valable en dimension quelconque, ce qui n'est pas le cas des angles orientés.

    Par contre effectivement dans cette construction tu montres que tu sais comparer l'orientation de deux angles orientés sans orienter le plan.

    Bruno
  • Salut Bruno

    Eh eh ! On ne parlait pas de la même chose effectivement.

    Merci pour tes remarques (de ce post et des autres).

    Et vive ce forum : bosser ce n'est pas évident et je manque de communication : parler avec d'autres gens d'une notion mathématique et très enrichissant et permet souvent de mieux la cerner.

    Bref ici beaucoup d'internautes font profiter de leurs savoirs et savoirs-faire.
    Je profite de ces quelques lignes pour les remercier publiquement.

    a+
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