contre exemple introuvable !!!

curieux0
curieux0
dans Les-mathématiques
Bonjour, quelqu'un pourrait-il me donner le contre exemple suivant :*


Je cherche une fonction de deux variables g(x,y) de IxI' dans K telle que :
x -> g(x,y) soit intégrable sur I (pour tout t)
y -> intégrale sur I de g(x,y) soit intégrable sur I'
Mais y -> intégrale sur I de |g(x,y)| ne soit pas intégrable sur I'

Impossible de trouver une telle fonction g !!!

Réponses

  • François Frédéric
    François Frédéric
    Prends par exemple $I=[0,1]$, $I'=[1, + \infty[$ et $g(x,y)=\frac{e^{ixy}}{y^{a}}$ où $0
  • lostbread
    lostbread
    merci !


    astucieux !

    savez vous si il existe de telles contres exemples avec des fonctions non plus a valeurs complexes mais reelles ?
  • Guego0
    Guego0
    En prenant la partie réelle de la fonction donnée par Frédéric ?
  • lostbread
    lostbread
    Non ça ne marche plus malheureusement car ce qui était pratique avec l'exponentielle complexe c'est que son module faisait un pour tout (x,y) mais là avec la fonction cos(xy) ça ne marche plus du tout...

    Pourtant je suis quasi persuadé qu'il en existe !!! (ou alors mon prof de maths raconte n'importe quoi !!!)
  • François Frédéric
    François Frédéric
    Si, ça marche aussi mais ça demande un peu plus de travail pour le voir:

    $\int_{1}^{+\infty} ( \int_{0}^{1} \frac{|cos(xy)|}{y^{a}}dx) dy= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}} ( \int_{0}^{y} |cos(u)|du) dy
    \geq \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}}( \sum_{k=0}^{E(\frac{y}{\pi})-1} \int_{k \pi}^{(k+1) \pi}|cos(u)|du) dy= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}}2E( \frac{y}{ \pi})dy
    \geq \int_{1}^{+\infty} (\frac{2}{\pi y^{a}}-\frac{2}{y^{a+1}})dy$ et cette dernière intégrale diverge (elle vaut $+ \infty$ dans $\overline{\R}$).
    $E(x)$ désigne ici la partie entière de $x$.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil

    $$\int_{1}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} \frac{|cos(xy)|}{y^{a}}\mathrm dx\right) \mathrm dy= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}} \left( \int_{0}^{y} |cos(u)|\mathrm du\right) \mathrm dy \geq $$
    $$\qquad \geq \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}} \left( \sum_{k=0}^{E(y/ \pi)-1} \int_{k \pi}^{(k+1) \pi}|cos(u)|\mathrm du\right) \mathrm dy= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{y^{a+1}}2E( \textstyle{\frac{y}{ \pi}})\mathrm dy \geq $$
    $$\qquad \geq \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{2}{\pi y^{a}}-\frac{2}{y^{a+1}}\right)\mathrm dy$$
  • curieux0
    curieux0
    merci !
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