[AgregInt] Dév décimal d'une fraction

Denis Le Coz
Denis Le Coz
dans Les-mathématiques
Je prépare une leçon d'agreg interne je suis bloqué depuis un moment sur la preuve de la prop ci-dessous :

Prop : Si x= a/p fraction irréductible avec p premier différent de 2 et 5. Montrer que son écriture décimale est périodique à partir du rang 1 et que sa période divise p-1

J'arrive à démontrer le fait que sa période divise p-1 mais pas que son écriture décimale est périodique à partir du rang 1

Réponses

  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    normal, c'est faux.

    Ou alors j'ai mal compris : qu'appelles-tu le rang 1 de son écriture décimale ?

    -> si c'est la première décimale, prendre a=1, p =503

    -> si c'est le premier chiffre non nul, prendre a=12345678910 et p=2

    -> sinon, m'expliquer quoi que c'est

    Pierrot.
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Et zut !

    Toutes mes excuses, 12345678910/2 n'est pas irréductible et en plus p=2!!!

    J'abuse...

    prenons donc a=10^9 et b=7
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Oh là là c'est la cata....

    Prenons a=9^5 et b=7...

    Sur ce je crois qu'il est temps que je me mette au lit ;)
  • Denis Le Coz
    Denis Le Coz
    si tu veux un exemple simple prend 1 /7 =0, 142857 142857 ...

    7 est premier diff 5 et 2

    Rang 1 signifie donc que le cycle apparait à partir des dixièmes
  • muaddob
    muaddob
    alors 100/7 n'est pas de rang 1 est irréductible etc. etc... donc c'est faux !

    je crois que de rang 1 signifie que la période commence au premier digit !
  • Prof_
    Prof_
    a0=a
    a1=10a0 [p] et d1 = [10a0/p]
    ...
    ak=10^ka0[p] et dk=[10a(k-1)/p]

    il suffit de regarder ce qui se passe: Comme 10 est inversible dans Z/pZ on a 10 elemnt d'ordre divisant p-1 dans Z/pZ*. De plus si r est l'ordre de 10, on a bien

    ar=a1.

    On en déduit que si 0<a<p, alors et p premier distinct de 2 et 5, alors le développement de a/p en base 10 est périodique de période l'ordre de 10 dans Z/pZ* (donc divisant p-1) et la période commence dès la première décimale.
  • Denis Le Coz
    Denis Le Coz
    100/7 = 14, 25814 25814 ...
    donc le cycle au niveau des décimals apparait bien à partir des dixièmes (rang 1 ) et 7-1 divise la taille du cycle.

    non ??
  • muaddob
    muaddob
    Oui

    Désolé, j'ai dit une connerie
  • Denis Le Coz
    Denis Le Coz
    MERCI prof
    Par contre on a : a1 = ar+1 puisque la taille du cycle est r non ??
    Merci en tout cas pour ton aide, cela m'a été bien utile.
  • Prof_
    Prof_
    Oui, je me suis mélangé les pinceaux sur r (période donc ar+1=a1 et non ar)
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Désolé, j'étais vraiment dans les choux :p

    Ca m'arrive :-\
  • Eric
    Eric
    Quel est le titre de cette leçon d'agreg ?
  • Denis Le Coz
    Denis Le Coz
    La tite de la leçon c'est :

    Ecriture décimale d’un nombre réel ; cas des nombres rationnels. N°107

    Je la présente samedi matin, j'ai un exemplaire s'il y a des gens qui veulent éplucher ce que j'ai écrit ce sera avec plaisir que je vous l'enverrai (donner-moi juste votre adresse mail)

    Au fait question con, l'écriture decimale et le développement décimal c'est bien la même chose
    ??
  • nono
    nono
    Bonjour Denis,

    Puisque tu la proposes, ta leçon n°107 m'intéresserait bien....
    Mon e-mail est : lesjeantots 'at' aol.com

    Merci de ton aide et si d'autres leçons t'intéressent éventuellement ...

    Nono, qui est pressé d'être à fin avril !
  • Pingo
    Pingo
    Bonjour Denis et Nono,

    Juste une question en lisant vos correspondances qui sont d'ailleurs fiort intéressantes!: Vous sentez-vous quasi sûrs d'être admissibles pour travailler ainsi intensément, car de mon côté, le moral fluctue, et les préparations, quoiqu'intéressantes pour nos cerveaux de matheux, ne sont pas toujours exaltantes!

    Pingo
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