[HorsMath] Capes

Je n'avais pas lu le message de guimauve, mais je crois qu'on a eu à peu près la même idée...

Salut à tous!

Sur le principe de récurrence, je vois que vous avez eu des discussions engagées, et je trouve que tout le monde a raison dans ce qu'il dit.

* a démontré plus haut ce principe avec "toute partie de N non vide admet un plus petit élément". C'est ce qu'on appelle l'axiome (ou le propriété...) "de bon ordre".
En fait le principe de récurrence et la propriété de bon ordre sont équivalentes (je vous laisse tout ça en exercice). On peut donc prendre n'importe lequel des deux comme axiome, et démontrer l'autre qui fera partie de notre stock de propriétés sur N.
Ainsi, on peut adjoindre soit l'un soit l'autre aux autres axiomes de Péano pour avoir la définition de N.

Bonjour à tous.

Je ne tiens plus, j'y vais de mon petit couplet sur la récurrence.

D'abord, croyez en mon expérience, ça peut cartonner très vite sur la récurrence et ce d'autant plus avec l'actuelle seconde épreuve pour laquelle une séance "récurrence" n'est pas à exclure.

Ce qui est à exclure, mais ça a été dit dans une intervention c'est l'expression "principe de récurrence" ! Il y a toujours l'un des trois membre pour demander quel est le statut d'un principe en mathématique (théorème, axiome, lemme, scholie) ; puis d'en demander une démonstration si la réponse précédente se révèle insuffisante. Bref c'est des plus classique ouverture sur un carton rouge si le candidat n'est pas clair sur la récurrence.

Venons-en à la démonstration de l'hérédité. Le malheureux qui énonce "supposons que $P(n)$ soit vrai pour... tout $n$ ou n'importe quel $n$" tend la perche au jury pour qu'il lui dise "Stop !! On passe à autre chose puisque vous admettez le résultat à démontrer". Peut-être qu'un peu de logique est, ici le bienvenu.

Il faut montrer l'énoncé :$$\forall\,n \in \N \quad \big(P(n) \Longrightarrow P(n+1)\big)$$ce qui est impossible a priori puisqu'on ne peut vérifier par des procédés finis la formule $P(n) \Longrightarrow P(n+1)$ pour tous les entiers $n$, on y passerait trop de temps sans en voir le bout. Heureusement, on a un schéma d'axiomes appelé {\it schéma de généralisation} qui s'énonce de la façon suivante :
\begin{quote}
\it Soit $P(x)$ une formule à une variable libre $x$, alors l'énoncé $P(c) \longrightarrow \forall\,y \quad P(y)$ où $c$ est une constante du langage ne figurant ni dans la formule $P$ ni dans les axiomes de la théorie est un axiome du calcul des prédicats (du premier ordre).
\end{quote}
C'est ce schéma d'axiome qui est implicitement (heureusement) appliqué à tour de bras dans toute démonstration d'un énoncé universel.

Reste à trouver une formulation française pour démontrer l'hérédité. J'avoue utiliser de préférence :
\begin{quote}
Choisissons arbitrairement un entier $n > 0$, supposons que l'on ait $P(n)$ et montrons que l'on a $P(n+1)$.
\end{quote}

Reste un point concernant le débat (pas nouveau) "A quoi ça sert de connaître les sous-groupes finis de $\mathds{SO}_3$ pour enseigner au... (lycée, collège, lp... Bref, où vous voudrez)?"

Un jour que je disais à mes préparationnaires (Capes), "dans une bonne rédaction, il faut aller à l'essentiel" j'ai eu une illumination et j'ai compris que parmi les nombreuses phrases creuses proférées dans ma carrière, celle-là méritait le pompon. En effet qu'est-ce que ce fameux "essentiel" ? Pour moi, la plupart de mes étudiants perdaient leur temps en digressions et tournaient autour du pot. {\bf Mais c'est normal !} J'aurais été un enseignant minable si ce que je considérais comme le fondement d'une démonstration avait été le même que celui de la majorité de mes étudiants (rassurez-vous, j'ai eu quelques étudiants qui avaient une vue plus pénétrante que la mienne) et mon travail consistait précisément à les aider à approfondir leurs points de vue. C'est pour permettre aux enseignants de se faire une opinion personnelle (plus ou moins bien fondée, nul n'est infaillible) sur ce qui fait l'essence des raisonnements et des objets mathématiques qu'il est important que les dits enseignants aient acquis une culture mathématique d'un niveau nettement supérieur au niveau de connaissances enseignées dans le cycle où ils exercent.

Désolé, mais j'ai été bien plus long que d'habitude.

Bruno

Je confirme que le jury m'a demandé de démontré quelque chose par récurrence (je crois que c'était l'oral 2). J'ai heureusement été capable de la faire rigoureusement, ce qui a rattrapé une bêtise que j'avais dit au départ (j'avais parlé de suite décroissante dans l'algorithme d'Euclide, je me suis fais descendre, un des jury ne voulais pas me lacher pendant de très longues minutes (alors que j'admettais volontier ma bêtise) jusqu'a ce qu'un autre jury lui demande d'avoir pitié de moi !!)).