[HorsMath] Capes
Réponses
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Le vrai raisonnement par récurence est basé sur le shémas suivant :
Initialisation : on montre que Pn0 est vrai pour un n0 initial
On suppose que Pn est vrai pour un n quelconque
On montre que Pn+1 est vrai.
Au final on obtient que Pn0 est vraie =>Pn0+1 est vraie => Pn0+2 est vraie =>...... -
Lili, tu dis ca peut etre maintenant car nous avons pris au gout aux mathematiques au fil du temps mais peut etre qu'à l'instant t ou tu etais en terminale, ce n'etait pas ta priorité de savoir comment on construisait C. Moi je suis obligé de reconnaitre que je ne comprend par certaines notions mais pourtant je les utilise tous les jours si je puis dire en les appliquant betement car le systeme est ainsi fait malheureusement car on ne peut ni tout voir ni tout comprendre. Pour finir avec C, les eleves voient deja une notion nouvelle, pensez aux eleves deja en difficulté qui en plus vont croire quon peut resoudre x carré + 1 dans R alors que c'est faux. Vous allez me dire que ce sera la faute du professeur, mais je crois quil faut etre prudent avec ca et que meme si une minorité s'y interesse vraiment une bonne partie de la classe est deja contente de savoir faire la difference entre partie imaginaire et partie réelle sans en rajouter pour autant. On a tous été etudiant et sans mentir sauf les tres bons, on ne s'interessait pas vraiment au pkoi du comment enfin à mon epoque ct ca peut etre que ca a changé et l'objectif c'etait plutot avoir le bac que tout comprendre c'est con mais c'est une reaction d'eleves et certains profs nous le reporchent encore à la fac le coté "ya que le note qui compte". C'est en ce sens que l'on constate aussi le déclin des niveaux malheureusement. Alors bien sur que je pourrais leur parler de tout ca mais je ne sais pas si le message passera ou du moins il passera que dans la tete de certains et le but c'est quand meme de transmettre son savoir à tous et d'aider TOUT le monde apres la fac prend le relai pour epanouir les eleves ayant une faim de maths importantes. Bon courage aux gens passant les concours moi ce ne sera pas pour cette année je n'ai ps assez bossé et je ne peux m'en prendre qu'à moi meme lol @ +
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Précisions sur le raisonnement par récurrence :
Le "vrai raisonnement par récurrence" (c'est quoi "le faux raisonnement par récurrence?) s'appuie sur un théorème qui correspond à ce que Nouveau_ici appelle schéma. Il est enoncé et démontré dans le premier tome du cours de Lelong Ferrand Arnaudies.
C'est très important d'avoir Pn$\Rightarrow$Pn+1 pour n quelconque, parce que c'est ce qui fait le lien entre l'initialisation et l'hérédité.
Si on a pas ça, ( c'est a dire si on formule : supposons qu'il existe un n tel que Pn vrai..... ça doit être ça un "faux raisonnement par récurrence") alors on peut "démontrer" à peu près n'importe quoi par récurrence. Par exemple : s'il y a un lapin blanc dans un champs, alors tous les lapins du champs sont blancs etc. -
Oliv,
"tu dis ca peut etre maintenant car nous avons pris au gout aux mathematiques au fil du temps mais peut etre qu'à l'instant t ou tu etais en terminale, ce n'etait pas ta priorité de savoir comment on construisait C."
Détrompez-vous, je ne me demandais certes pas "comment" on construisais C, mais je me demandais pourquoi... Quant au dx, c'est une question qui me perturbait beaucoup en terminale. Il y a d'autre questions que je me posais en terminale comme "pourquoi l'intégrale vaut l'aire sous le graphe" et j'étais très frustrée de ne pas avoir de réponse. Si j'ai voulu continuer les maths après le bac, c'est précisément parceque je me posais ces questions et non l'inverse!
" Pour finir avec C, les eleves voient deja une notion nouvelle, pensez aux eleves deja en difficulté qui en plus vont croire quon peut resoudre x carré + 1 dans R alors que c'est faux."
Encore une fois je n'ai pas dit qu'il fallait faire cela en cours, je me permets de remettre ce que j'avais écrit :
"Biensur un prof au lycée ne peut pas parler de tout ce que vous dites en cours, mais dans les questions que les élèves lui posent, il peut évoquer toutes ces choses."
Je parlais juste des réponses qu'on pouvait donner à des élèves qui s'interressent et se posent des questions, pas du contenu du cours : je pense que les programmes sont déjà assez denses pour en rajouter.
lili -
Il me semble que le principe de récurrence :
<BR>
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="415" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/1/81264/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \forall P(P(0) \wedge \forall n \in \mathbb{N}(P(n) \Longrightarrow P(n+1)) \Longrightarrow (\forall n \in \mathbb{N}\ P(n))) $"></DIV><P></P>
<BR>
<BR>(dont on dérive facilement le cas où la base de la récurrence est différente de 0) est un axiome et non pas un théorème.<BR><BR><BR> -
pour terminer, Oliv,
"On a tous été etudiant et sans mentir sauf les tres bons, on ne s'interessait pas vraiment au pkoi du comment enfin à mon epoque ct ca peut etre que ca a changé et l'objectif c'etait plutot avoir le bac que tout comprendre"
Je ne me suis jamais considérée comme une très bonne élève (à part peut-être en CE1). J'ai eu mon bac avec 12 ou 13 de moyenne, rien d'exceptionnel comme vous le voyez, sed je m'interressais beaucoup plus à comprendre ce que je faisais qu'à avoir de bonnes notes! Le pourquoi du comment c'est ça qui m'attirait! Et je n'étais pas la seule, autour de moi, je voyais des gens qui comme moi n'avaient pas un super niveau mais s'interressaient à ce qu'ils faisaient. Moi, c'était les maths, d'autres c'était la physique, d'autres la bio... Quand on est attiré par une discipline on a envie d'en savoir toujours plus, on ne peut pas se contenter, d'un "vous verrez ça plus tard", ou d'un "c'est juste une notation"...
Quelqu'un qui maitrise peut répondre aux attentes d'un élève en lui racontant des choses d'un niveau élevé tout en ce mettant à sa portée.
lili -
"Se mettant à sa portée..."
oops, j'espère qu'il n'y a pas d'autres horreurs... -
Je trouve que la dernière phrase de lili résume bien les choses.
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Nouveau_ici :
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Le vrai raisonnement par récurence est basé sur le shémas suivant :
Initialisation : on montre que Pn0 est vrai pour un n0 initial
On suppose que Pn est vrai pour un n quelconque
On montre que Pn+1 est vrai.
Au final on obtient que Pn0 est vraie =>Pn0+1 est vraie => Pn0+2 est vraie =>......
>>
C'est vraiment écrit n'importe comment !
J'espère que tu n'enseigneras pas à mes enfants... comment avoir une compréhension claire de tout ça avec une explication aussi ambigue et alambiquée... n'as-tu pas appris l'importance de la précision dans le discours en mathématique ?
(mon aggressivité est justifiée à mes yeux par le fait que tu considères tout cela comme des trivialités, alors qu'il n'est visiblement pas clair que tu les maitrises...). -
Récurrence.
Guimauve, je te propose une démo de ce que j'ai appelé théorème de récurrence, si tu es sûr qu'il s'agit d'un axiome et pas d'un théorème peux tu m'indiquer où je me suis planté. Merci beaucoup; je suis pas très a l'aise avec toutes ces notions.
Soit A = { n$\in\N$: Pn non vraie}
Supposons A$\neq\emptyset$, alors, A admet un plus petit élément m.
P0 vraie $\Rightarrow$ m$\geq$1 et donc Pm-1 vraie.
Hors Pm-1 $\Rightarrow$ Pm $\Rightarrow$ m$\not\in$A et donc contadiction.
A = $\emptyset$. -
La méthode de ma prof de term pour nous faire comprendre la récurence:
Elle a fait une fois l' appel en nous demandant de retenir le nom de la personne avant nous dans l' ordre alphabetique.
Puis elle nous as fait jouer un jeu si notre prédécésseur dans l' alphabet est debout alors on doit se lever aussi, enfin elle a demandé au premier dans l' alphabet de se lever... -
*.* et Guillaume : votre question n'est pas très pertinente. Suivant la manière dont on construit une théorie mathématique, un résultat peut-être un axiome ou un théorème...
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A propos du passage "Le vrai raisonnement par récurence est basé sur le shémas suivant : Initialisation : on montre que Pn0 est vrai pour un n0 initial. On suppose que Pn est vrai pour un n quelconque. On montre que Pn+1 est vrai. Au final on obtient que Pn0 est vraie $\Rightarrow$ Pn0+1 est vraie $\Rightarrow$ Pn0+2 est vraie $\Rightarrow$......"
Je serais un peu moins dur que Probaloser, mais dans la dernière phrase il me semble qu'il y a une confusion, très répandue, entre le signe logique $\Rightarrow$ et le mot français "donc". Il me semble effectivement que quelqu'un qui fait cette confusion n'est pas apte à apprendre la distinction à des élèves... Et pourtant, on nous dit que le plus important n'est pas la somme des savoirs mathématiques mais la capacité de raisonnement et la transmission de celle-ci.
Désolé Oliv si j'ai caricaturé sa position (ce qui est bien possible, comme le dit $,*,$ c'est le danger de la communication sur le web), cela dit je remarque un peu mesquinement que tu ne sais pas lire entre les lignes (j'ai dit "mes enfants, si j'en avais", sous-entendu je n'ai pas !) et que tu penses que le Capes et l'Agreg sont des diplômes. Plus important, je ne change pas ma position sur le débat général, qui je trouve a été particulièrement bien exprimée par lili, dido et GLaG. C'est dommage de ne pas vouloir prendre un peu de hauteur... -
Bonjour à tous,
Je reviens un peu sur le raisonnement par récurrence.
Si mes souvenirs sont bons, le théorème de récurrence se démontre à partir de l'un des 3 aximones de Peano ( appelé justement axiome de récurrence ). Et au capes, j'ai des amis qui à l'oral ont eu le droit à la question : "La raisonnement par récurrence est un axiome ou un théorème ", le jury a ensuite demandé la démonstration de ce théorème.
Croyez moi que cette question a été plutôt déroutante pour eux... du coup je m'étais penché un peu sur le sujet.
Bonne journée.
Eric. -
Oh, et à propos de l'expérience, je n'ai jamais prétendu en avoir (je n'ai que 23 ans...) et je suis désolé si je l'ai laissé entendre ; en revanche je pense qu'un enseignant soit avoir du {\bf recul} sur les notions qu'il enseigne, pas en amassant stérilement des masses de connaissances mathématiques mais en approfondissant les concepts, en les tournant dans tous les sens, en se posant des questions... D'autres l'ont mieux expliqué que moi sur le fil. Un exemple : on comprend mieux pourquoi $0^0$ est un problème quand on a fait un peu d'analyse à plusieurs variables.
Et on peut "montrer" comment le groupe de l'icosaèdre est isomorphe à $A_5$ dans les petites classes, en inscrivant 5 trièdres orthogonaux dans celui-ci, sur lesquels le groupe agit (voir par exemple le bouquin de M.Alessandri). -
<<Détrompez-vous, je ne me demandais certes pas "comment" on construisais C, mais je me demandais pourquoi... Quant au dx, c'est une question qui me perturbait beaucoup en terminale. Il y a d'autre questions que je me posais en terminale comme "pourquoi l'intégrale vaut l'aire sous le graphe" et j'étais très frustrée de ne pas avoir de réponse. Si j'ai voulu continuer les maths après le bac, c'est précisément parceque je me posais ces questions et non l'inverse! >>
A mes yeux un professeur doit etre capable d'enseigner ce genre de notions, sans utiliser de th compliqués ou autre mais juste avec des mots simples.
Par exemple pour le dx de l'intégrale, j'explique tout simplement qu'il s'agit de l'élément de longueur élémentaire, et que l'intégrale pour chaque point x entre a et b calcul l'aire du rectangle de coté dx et f(x) , puis additionne toutes ses aires et quand dx est extrèmement petit (dans la réalité c'et une limite) donne l'aire totale sous la courbe. Bien sur ca n'est pas entièrement juste, mais ca leur permet déjà de se faire une idée de ce qu'est une intégrale, et ce n'est pas entièrement faux car il s'agit d'une partie de la definition de la Riemann intégrabilité (puis en 1ère année de fac c'est comme cela que l'on programme les algo pour calculer une intégrale). -
Probaloser, même si les échange sur ce fil sont un peu mouvementés et que tout le monde n'est pas d'accord sur tout, personne n'est débile non plus.
On sait bien qu'un résultat peut être pris comme axiome où comme théorème!
Là, on est dans un [Hors Maths] concernant le Capes, et l'échange entre Guimauve TheVehlo AlexB Nouveau_Ici * concerne surtout ce concours.
La question ``Quand on montre l' hérédité dans une récurrence, n est il fixé ou quelconque ?''. est souvent posée à l'oral du Capes.
Je disais qu'il me semblait que la réponse apopriée été d'énoncer le théorème de récurrence, de savoir le démontrer et accessoirement de savoir démontrer l'équivalence entre récurrence faible et forte.
Je pense que présenter ce résultat en l'appelant "un principe" ou "un schéma" est risqué à l'oral de ce concours et c'est dans ce sens là que je pense que l'échange que j'ai eu avec Guimauve est très pertinent.
Toujours dans le cadre du Capes, repondre à une question du jury par : "ce résultat peut être considéré comme un axiome, ça depend de la manière dont on a construit la théorie" c'est,à mon avis, une mauvaise stratégie.
Si certain veulent l'essayer, qu'ils n'oublient pas de nous faire part des réactions du jury.
@+ -
>
Je ne suis pas d'accord sur le "personne n'est débile" mais c'est un détail (et ce n'est bien sûr pas toi que je vise avec cette remarque).
>
Je te rappelles que je ne t'ai pas en face de moi et qu'il m'est difficile de connaitre ton niveau... Comment savoir alors si tu le sais bien ou pas ? Ce qui est sur c'est que ce n'est pas clair pour pas mal de gens.
>
Je ne vois vraiment pas le problème, à partir du moment où tu as de bons arguments. Ce que le jury peut exiger est, je pense, l'une des constructions (par exemple un rappel de la définition de $N$ avec les "axiomes de Peano", le rappel du fait qu'un tel ensemble existe par axiome, éventuellement des questions d'unicités, et puis la manière (immédiate) dont on déduit le "principe de récurrence" de tout cela). Je pense qu'il peut aussi apprécier la remarque selon laquelle il y a plusieurs manière de présenter les choses (les élèves étant confrontés à cela, il est important que les profs l'ai bien compris).
Plus amicalement que mon style pourrait le laisser penser,
PL -
Ok PL, merci pour la mise au point.
Je partage ton avis mais j'insiste sur le : "à partir du moment où tu as de bons arguments", parce que c'est souvent ce qui fait défaut aux candidats qui se lancent dans des considération un peu ambicieuses.
@micalement. -
Histoire d'argumenter un tout petit peu...
Nouveau_ici :
>
vrai ? il y en a des faux ? (remarque déjà faite mais bon...)
schémas ? c'est quoi ? ça ne serait pas plus clair d'énoncer un théorème ?
>
On est visiblement pas parti pour énoncer un théorème... Bon c'est "avec les mains" et c'est pas forcément un soucis pour se faire comprendre des élèves effectivement.
>
Allo ? Si je ne savais de quoi il s'agit je me dirais d'abord que c'est mal écrit, et en essayant de comprendre ce que ça veut dire je me dirais que l'auteur a sans doute voulu dire "on suppose que c'est vrai pour tout entier $n$ "...
Faut-il rappeler qu'en math on écrit ce que l'on pense et non quelque chose qui s'en rapproche en laissant au lecteur le boulot de deviner ce que l'on a voulu dire ?
Pn0+1 est vraie => Pn0+2 est vraie =>......
>>
Qu'as-tu voulu dire ?
1) $P_{n_0} \Rightarrow P_{n_0+1}$ et $P_{n_0+1} \Rightarrow P_{n_0+2}$ et ... ?
Sans doute pas, c'est ce que l'on avait avant...
2) $P_{n_0} \Rightarrow P_{n_0+1}$ et $P_{n_0} \Rightarrow P_{n_0+2}$ et ... ?
Ah c'est mieux mais quelle manière tordue de l'écrire (même corrigé...) étant donné que l'on sait que $P_{n_0}$ est vraie... il suffit de dire que sont vrais $P_{n_0}, P_{n_0+1},...$
Par ailleurs, comme relevé comme egoroff, cela suggère assoez fortement que tu ne sais pas encore distinguer => de donc...
>>
(je rappelle ici encore que je justifie mon agressivité par le fait que nouveau_ici semble considérer tout cela comme trivial...). -
*., tu utilises une récurrence pour prouver que toute partie de $\N$ a un plus petit élément (ou alors je veux savoir comment tu fais).
Par contre il est peut-être possible de construire $\N$ en remplaçant l'axiome de récurrence par l'axiome du plus petit élément. -
La notion du n quelconque peut sembler obscure, mais en francais, cela veut dire qu'il faut montrer qu'a partir du moment que la prop est vraie au rang n, elle reste vraie au rang n+1.
On a l'initialisation et l'hérédité (suffit de penser aux marches d'un escalier infini) donc la prop reste vrai a tous les rang n appartement a N -
Après réflexion j'aimerais changer mon « peut-être » en « sûrement » !
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Pour tout les rangs n $\geq$ n0 pardon
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Merci Guimauve c'est exactement ce genre d'explictions que je recherchais.
T'es cool. merci. -
Le raisonnement par récurence reste clairement ce qui pose le plus de problème aux élèves de 1ère/termS voire meme au delà. par exemple une amie de L3 m'a dit qu'il y avait des trucs pas clair dans sa tete a propos du raisonnement par récurence, ce qui est le cas d'un peu tout le monde ici a ce que je vois. C'est un peu comme l'axiome du choix, je ne vois pas en quoi il peut etre contesté, car il parait trivial, mais en meme temps je vois clairement que dans cet axiome quelque chose ne va pas (puis conduit a des résultats bizzares comme le fait que tout espace vectoriel admette une base).
Le truc est qu'absolument rien dans les maths n'est trivial, et en remontant comme cela on peut meme arriver jusqu'a contester la contruction des entiers naturels.
Maintenant pédagogiquement, est-ce bon de vouloir enseigner le pourquoi du comment a un élève qui ne sait meme pas appliquer le raisonnement par récurence, et qui n'a pas meme pas une idée sur le ("pkoi ca marche ?" ) -
Je vois que le principe de récurrence fait couler de l'encre !
Soit $E$ un ensemble naturel.
$\forall a\in E$ on note $a^{+}$ le suivant de $a$.
On note $P_{a}$ une propriété associée à l'élément $a\in E$.
Soit $a_{0}\in E$.
Si d'une part, $P_{a_{0}}$ est vérifiée.
Si d'autre part, $P_{k} \Rightarrow P_{k^{+}}$ pour tout $k\geq a_{0}$
Alors $P_{a}$ est vérifiée pour tout $a\in [a_{0};\rightarrow[$.
Après, comme ensemble naturel on a $\Bbb{N}$, $2\Bbb{N}$ ou autre... -
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Le raisonnement par récurence reste clairement ce qui pose le plus de problème aux élèves de 1ère/termS voire meme au delà. par exemple une amie de L3 m'a dit qu'il y avait des trucs pas clair dans sa tete a propos du raisonnement par récurence, ce qui est le cas d'un peu tout le monde ici a ce que je vois.
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Excuse moi mais je pense ne pas avoir de problème avec le raisonnement par récurrence, et j'espère bien ne pas être le seul ici... Tiens d'ailleurs ce raisonnement par récurrence je l'ai découvert par un exo de mon bouquin de quatrième, heureusement que le prof maitrisait aussi le programme du lycée pour pouvoir me l'expliquer...
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C'est un peu comme l'axiome du choix, je ne vois pas en quoi il peut etre contesté, car il parait trivial
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Par "trivial" tu veux dire intuitif j'imagine.
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, mais en meme temps je vois clairement que dans cet axiome quelque chose ne va pas (puis conduit a des résultats bizzares comme le fait que tout espace vectoriel admette une base). Le truc est qu'absolument rien dans les maths n'est trivial, et en remontant comme cela on peut meme arriver jusqu'a contester la contruction des entiers naturels.
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Là je ne sais pas trop ce que tu veux dire par ton dernier "trivial"...
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Maintenant pédagogiquement, est-ce bon de vouloir enseigner le pourquoi du comment a un élève qui ne sait meme pas appliquer le raisonnement par récurence, et qui n'a pas meme pas une idée sur le ("pkoi ca marche ?" )
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Ce que je t'ai reproché c'est (en autres choses) de d'exprimer tellement mal pour expliquer le raisonnement par récurrence qu'il fallait déjà savoir ce que c'était pour te comprendre... -
Je crois que tu prends le problème à l'envers : pourquoi cet élève ne sait-il pas appliquer a récurrence ? N'est-ce pas la mission de son prof de maths de lui apprendre ?
La question à se poser est plutôt "Ai-je assez bien compris les subtilités inhérentes au raisonnement par récurrence pour pouvoir l'expliquer rigoureusement à un lycéen, et ce sans l'embrouiller ?" -
Mon dernier message s'adressait à Nouveau_ici et en particulier à sa dernière phrase :
est-ce bon de vouloir enseigner le pourquoi du comment a un élève qui ne sait meme pas appliquer le raisonnement par récurence, et qui n'a pas meme pas une idée sur le ("pkoi ca marche ?" ) -
Ah ok, il fallait le dire plus tot, mais bien sur je n'expliqerais jamais comme cela le raisonnement par récurence à un élève de lycée.
Oui par trivial j'entendais plutot intuitif. -
Tant qu'on parle des épreuves du capes, pourquoi la première s'appelle "mathématiques Breton" ??? j'ai jamais compris...
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Au passage maintenant qu'on en est sur la récurence, je n'ai jamais vu un professeur a l'université démontrer le th par récurence, et je ne pense pas qu'a l'écrit du capes savoir bien enseigner ou pas la récurence influera sur la note, ce qui revient au sujet initial.
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"je ne pense pas qu'a l'écrit du capes savoir bien enseigner ou pas la récurence influera sur la note" : c'est vrai, ce n'est pas comme si c'était un concours d'enseignement :-p
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Pour les mathématiques breton , je croyais que c'étais parce que le Capes de langue Breton pouvait avoir une option Maths correspondant à cet épreuve.
Sur la récurrence au Capes, c'est aussi à l'oral qu'il faut avoir les idées claires là dessus comme l'a fait remarquer ricco45. -
"c'est vrai, ce n'est pas comme si c'était un concours d'enseignement :-p "
C exactement ou je voulais en venir. -
Il est capital de comprendre les maths pour les enseigner, c'est un principe empirique qui se traduit simplement par le fait que les polycopiés n'ont pas remplacés les profs.
C'est vrai pour les maths mais également pour à peu près tous les autres domaines de la connaissance. -
Je voudrais revenir sur certains points et demander quelques éclairements...
Au sujet des nombres complexes, on peut effectivement faire de longues digressions dessus et pas qu'en terminale: je suis prof entre autres à une classe de quatrième et j'ai demandé à certains de faire des exposés (en lien avec l'histoire des math). Pour un de ces exposés, j'ai donné pour sujet: entiers naturels, entiers relatifs, nombres rationnels, nombres rééls.
Cette classification n'est pas au programme (encore qu'on en parle en troisième!) et j'ai voulu voir, en exposé donc, ce que mes élèves feraient. Ils sont partis sur des exemples d'équations (si on veut résoudre x+2=1, alors les naturels ne suffisent pas et on va chercher les relatifs...). Ils ont présenté leur exposé à l'oral et cela a beaucoup plu; je me suis alors senti pousser des ailes et, comme on venait de faire les puissances, je leur ai demandé: que penser de l'équation x²=-1? Ils ont trouvé par eux-mêmes que cette équation n'avait pas de solutin et un élève m'a demandé si on pouvait aller chercher des nombres qui "marchaient" et voilà comment parler des complexes en quatrième...
Par cet exemple, je crois vraiment qu'on peut souvent parler de choses profondes et complexes en mathématiques et ce , quelque soit le niveau; cela implique de largement dépasser les connaissances du programme pour, d'une part, pouvoir proposer des situations où les élèves peuvent s'imaginer à quoi tout cela peut déboucher et d'autre part, pour pouvoir épurer les explications en trouvant une bonne stratégie pédagogique...
J'ai une question sur la récurrence; j'ai lu avec attention ce qui a été écrit mais j'avoue avoir des soucis de détails: pour moi, le n dans la récurrence est quelconque mais fixé! Si on montre l'initialisation (que ce soit au rang 0, au rang 1 ou au rang 3 000!) et qu'on sait que (Pn vraie ) implique (Pn+1 vraie) pour un n fixé alors on peut conclure Pn vraie pour tous les n à partir du rang "initial". Je voudrais simplement savoir si je raconte n'importe quoi dans ma façon de m'exprimer et de m'éclairer sur les enjeux de la discussion lancée...
Merci! -
"Sur la récurrence au Capes, c'est aussi à l'oral qu'il faut avoir les idées claires là dessus comme l'a fait remarquer ricco45."
justement le sujet du topic c l'écrit du capes, et pour arriver a l'oral faut déjà etre admissible.
Mais pour l'oral je ne suis pas non plus entièrement d'accord, des facteurs humains comme le stress peuvent donner l'impression au jury que le candidat maitrise mal, mais on y peut rien là dessus. -
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Ah ok, il fallait le dire plus tot, mais bien sur je n'expliqerais jamais comme cela le raisonnement par récurence à un élève de lycée.
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Bon, mais à qui l'expliquerais-tu comme cela ???
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Oui par trivial j'entendais plutot intuitif.
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Et ton deuxième trivial ? -
Ouh, je ne pensais pas faire couler autant d'encre sur la récurrence. Si j'ai posé la question, c'est parce que des étudiants me l'ont déjà demandé.
Si on écrit "supposons Pn vrai pour n quelconque", on suppose Pn pour tout n, donc démontrer Pn+1 est trivial (et n'apporte rien). C'est effectivement mal rédigé.
Le "fixé mais quelconque" me convient mieux : on le prend arbitraire, mais on n'y touche plus pendant que l'on rédige la preuve de l'hérédité. Un peu comme le "soit epsilon>0" que l'on écrit pour démarrer une preuve de convergence : le résultat doit être vrai quel que soit epsilon, on en fixe un pour faire la preuve mais il est arbitraire.
Si j'ai donné ces questions, c'est que d'abord elles m'ont été posées par des étudiants et il me semble qu'elles font partie de ces questions qui demandent un peu de recul. Je crois, comme les participants l'ont souligné plus haut, que ce que l'on attent d'un étudiant passant le capes c'est du recul face aux mathématiques plutôt que de vastes connaissances encyclopédiques.
Concernant les nombres complexes, comment l'expliquez-vous aux étudiants ? Parce que moi ca me parait quand même halluciant de dire "on les définit pour avoir des solutions à x^2+1=0". Je vois déjà les étudiants demander si on peut aussi définir ce que l'on veut pour avoir des solutions à 0.x=1.
Alex. -
Alex écrit:
"Concernant les nombres complexes, comment l'expliquez-vous aux étudiants ? Parce que moi ca me parait quand même halluciant de dire "on les définit pour avoir des solutions à x^2+1=0". Je vois déjà les étudiants demander si on peut aussi définir ce que l'on veut pour avoir des solutions à 0.x=1."
Certes, le fait de créer des ensembles pour résoudre des équations n'est pas très rigoureux: encore faut-il savoir quelles propriétés on veut pour ces ensembles...
Résoudre l'équation 0.x=1 n'a pas de sens dans une structure d'anneaux par définition du 0 et du 1. Il faudrait revoir ces définitions si on veut espérer conclure et si on revoit ces définitions, les notations 0 ou 1 n'ont plus de sens...
Je pense que cette approche par résolutions d'équations est utile pour "fixer" (décidément!) les idées: on invente à partir de ce qu'on sait déjà faire afin de voir ce qu'il manque pour en faire davantage... Je ne crois pas que ce langage s'applique à des étudiants plus vieux car on a alors les armes nécessaires pour cerner l'intérêt des complexes et cela n'est pas le cas au collège ou au lycée...
J'ajouterai d'ailleurs qu'il ne faut pas parfois trop expliquer afin de ne pas démythifier ce qu'on verra plus tard... -
(sur x^2+1=0)
Il me semble quand même que c'était le but "historique" de l'introduction des complexes : trouver des solutions à des équations sans solutions réelles (dans le but de trouver des solutions, bien réelles celles-là, d'un problème plus vaste).
Après, ce qui peut justifier que l'on ne puisse pas ainsi faire n'importe quoi, c'est la nécessité de garder tout ou partie des règles de calcul usuelles : associativité, commutativité, relation d'ordre...(en c'est pour qu'il n'est pas idiot de demander aux enseignants d'avoir une vague idée de ce qu'est un groupe, un corps, une relation d'ordre, ... , même si ce n'est plus au programme du secondaire). Un exercice intéressant proposé par mon prof de terminale consistait justement à montrer que l'on ne peut pas définir d'ordre total sur C compatible avec les opérations usuelles...
Bref la question sur 0.x=1 n'est pas idiote, et elle peut aussi trouver une réponse (structure d'anneau, ...) -
Pour être admis il faut d'abord être admissible, ok, mais l'admissibilité au Capes sans admisson me parait assez inutile.
J'ai participé à la discussion sur le raisonnement par récurrence parce qu'il y a un universitaire dans mon académie qui fait régulieremnt parti des jury du Capes externe et des agreg interne et externe, et qu'il insiste souvent sûr le manque de rigueur des candidats dans l'énoncé de l'axiome ou du théorème de récurrence. voila . Moi ce que j'en dis, c'est pour aider ceux qui passent le concours cette année et accessoirement en profiter pour apprendre des trucs; Merci Guimauve, PL egoroff etc.
Pour le stress à l'oral, un candidat qui perd ses moyens au point de donner l'impression au jury qu'il ne maîtrise pas un sujet qu'il connait bien n'a pas vraiment sa place sur la liste des admis.
Suivant où tu commences ta carriere, une classe d'élèves durs, c'est autrement plus stressant qu'un jury qui n'est pas là pour te pièger mais justement pour te permettre de prouver ta valeur. -
GLaG :
La manière dont tu présente les choses est un peu anachronique. Le but de l'introduction des nombres complexes, c'était de pouvoir mener formellement les calculs de racines carrées qui interviennent dans la résolution des équations du troisième degré, même quand la quantité sous la racine était positive (ce qui revient au même que ce que tu dis, mais personne n'aurait dit "inventons des solutions à l'équation x^2+1=0", c'était plutôt "j'ai racine(a) avec a=-1, mais faisons comme si je n'avais rien vu, de toutes facons il aura disparu à la fin des calculs").
D'accord pour le reste.
Alex. -
éfix:
<<J'ai une question sur la récurrence; j'ai lu avec attention ce qui a été écrit mais j'avoue avoir des soucis de détails: pour moi, le n dans la récurrence est quelconque mais fixé! Si on montre l'initialisation (que ce soit au rang 0, au rang 1 ou au rang 3 000!) et qu'on sait que (Pn vraie ) implique (Pn+1 vraie) pour un n fixé alors on peut conclure Pn vraie pour tous les n à partir du rang "initial". Je voudrais simplement savoir si je raconte n'importe quoi dans ma façon de m'exprimer et de m'éclairer sur les enjeux de la discussion lancée...>>
Quand tu démontre que P(n) implique P(n+1), il faut que ta demonstration soit valide pour tout n supérieur où égal à ton n0 initial.
Un contre exemple, c'est l'histoire du champs de lapin où P(n) implique P(n+1) marche pour tout n sauf pour n=1. -
Quand tu démontre que P(n) implique P(n+1), il faut que ta demonstration soit valide pour tout n supérieur où égal à ton n0 initial.
Un contre exemple, c'est l'histoire du champs de lapin où P(n) implique P(n+1) marche pour tout n sauf pour n=1.
C'est là où je ne suis pas d'accord, à moins que je n'ai pas tout saisi! En effet, le problème vient qu'il n'y a pas d'initialisation dans toon exemple, ce qui est nécessaire dans le raisonnement par récurrence (d'ailleurs, souvent au lycée, les initialisations sont évidentes donc un élève peut avoir tendance à oublier l'importance de cette étape). Pour moi, si on démontre que (Pn vraie) implique (Pn+1 vraie) pour un entier fixé, supérieur à un certain n0 et que Pn0 est vraie, alors ça marche.
Parce que, démontrer que pour tout n, (Pn vraie) implique (Pn+1 vraie) , je sais pas, ça me choque: j'ai l'impression que ça démonte la récurrence; l'intérêt de la récurrence, c'est justement qu'on peut se contenter de démontrer l'implication pour un seul entier (sans oublier, à part, l'initialisation...) -
Salut, éfix
Je ne comprends pas ta remarque. Dans l'histoire des lapins il y a bien une initialisation : Pn : " dans un champs de n lapins, si un lapin est blanc alors tous sont blancs" ; l'initialisation se fait pour P1 : " dans un champs de 1 lapin, s'il y a un lapin blanc, tous les lapin du champs sont blancs".
Où est le problème? -
Le problème est que l'hérédité se transmet seulement à partir de n=2.
-
D'accord! Je n'avais pas bien compris ton exemple mais du coup, je crois avoir trouver une faille: pour prouver l'hérédité: de mes (n+1) lapins, dont un blanc, j'en extrais n (dont le blanc) et je prouve ainsi que les n que j'ai pris sont blancs (d'après l'hypothèse de récurrence); ensuite, j'en sélectionne à nouveau n: celui que je n'ai pas pris et (n-1) autres et je prouve alors que le lapin restant est bien blanc MAIS en faisant cela, je suis obligé de considérer que mon champ contient au moins trois lapins (sinon on ne peut logiquement pas cloisonner comme j'ai fait) et ainsi, comme il y a un saut, l'initialisation doit se faire pour n=2, ce qui ne marche pas...
Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre mais avec cette méthode, la définition de la récurrence n'est pas mise à mal.
What do u think? Si je raconte n'importe quoi, j'aimerais savoir! Merci.
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