petit doute

oui, mais ce n'est pas la definition

et attention à bien compter les valeurs propres avec leur multiplicité, et uniquement dans un corps algébriquement clos (C pour les matrices réelles).

Dans le cas réel :
Il existe des matrices réelles qui n'ont pas de valeurs propres, et dont la trace n'est pas nulle ; par exemple la matrice ((1 1)(-1 1)) dont la trace est 2. Pour utiliser le théorème cité plus haut, il faut se placer sur C, de manière a avoir des valeurs propres. On sait alors que l'on a n valeurs propres comptées avec multiplicité pour une matrice de taille n. Dans mon exemple, ce sont 1+i et 1-i.

[et plus généralement, si on a une matrice M à coefficients dans un corps K, on peut toujours trouver un corps L contenant K sur lequel la matrice ait n valeurs propres comptées avec multiplicité]