Fonctions de plusieurs variables

Définition : $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en un point $(x_0,y_0)$ si et seulement si l'application $x \mapsto f(x,y_0)$ est dérivable en $x_0$. Donc il n'y a pas à revenir à la déinition avec les taux de variations et tout !


Pour la question 2) on commence par la continuité, puisque c'est demandé dans cet ordre-là : il est clair que $f$ est continue sur $\R^2 \setminus \{ 0 \} \times \R$, comme quotient/produit/composée/etc. de fonctions continues. On choisit un point $(0,y) \in \{ 0 \} \times \R$, et il s'agit de montrer que $\lim_{(h,k) \to (0,0)} f(0+h,y+k)=f(0,y)$. Pour ça on va majorer la valeur absolue de la différence en utilisant l'inégalité triangulaire après avoir astucieusement introduit $f(0,y+k)$ par exemple.

Oui, écris par exemple que sin(xy)=xy/cos(txy) avec t entre [0,1] donc
sin(xy)/x = y.cos(txy) qui tend vers a lors que (x,y) tend vers (0,a) (Ça donne la continuité de la fonction en (a,0). (Attention la continuité par rapport à (x,y) n'est pas la continuité par rapport à x et à y)

Pour l'existence des dérivées partielles, je te suggère de te rappeler que ce sont des dérivées par rapport à une seule variable. Sachant la fonction continue en (a,0) et l'existence du theorème du prolongement C1 des fonctions à une variable, je pense que tu devrais t'en sortir...