matrice symetrique positive ?

Zaim KHELIFI · February 2006

Hi,
On sait ce qu'est une matrice symétrique, on sait aussi ce qu'est une matrice définie ou semi-définie positive, mais je ne trouve pas d'informations sur "une matrice symétrique positive" dans quelques dictionnaires de math que j'ai ni sur le net, alors qui peut m'aider à ce sujet ?
Merci.

Bruno · February 2006

Bonjour Zaim.

Une matrice symétrique positive d'ordre est la matrice d'une forme quadratique positive sur $K^n$, c'est-à-dire qu'il peut exister des vecteurs istropes pour cette forme : la matrice est donc semblable à une matrice :$$\begin{pmatrix}I_r &(0) \\ (0) &(0)\end{pmatrix}.$$

Bruno

jctout · February 2006

Pour tout vecteur X colonne, on doit avoir: t(X) A X positif, où t(X) désigne la transposée de X.

Zaim KHELIFI · February 2006

Merci à tous pour vos réponses.

prof2 · February 2006

Bruno: Pas semblable... C'est une matrice symétrique réelle à valeurs propres positives. Effectivement, il existe P inversible telle que t(P).A.P soit de la forme que tu donnes mais ça n'est pas être semblable....

Pingo · February 2006

Pas semblable en effet.. Les deux matrices sont dites CONGRUENTES.
Autre moyen de caractériser les matrices symétriques dites positives: toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.. La matrice est alors SEMBLABLE à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont positifs ou nuls (car on sait bien que toute matrice symétrique est diagonalisable...)

Pingo

prof2 · February 2006

Allez on va chipoter, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable: c'est un grand classique dans les questions d'oraux de concours.....

Bruno · February 2006

Je rentre dans ma coquille :-)) Permuter "semblables" et "congruentes"...

Bruno

matrice symetrique positive ?

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