Proba encore

Vivien0
Vivien0
dans Les-mathématiques
Bonjour à tous, je coince à nouveau sur une petite question d'un exo de proba !
on donne 1va $X$ suivant une loi de laplace de densité $f_X(x)=\frac{1}{2}exp(-|x|)$, et 2 va $Y$ et $Z$ suivant une loi exponentielle de paramétre 1.
Il s'agit de montrer que $Y-Z$ a la meme loi que $X$
Je suppose que je dois montrer que la fonction de répartition de $U=Y-Z$ est la meme que la fonction de répartition de $X$ mais je ne m'en sors pas ...
Merci d'avance pour votre aide :)

Réponses

  • Sigma
    Sigma
    Deux méthodes, tu as dû en voir au moins une en classe :
    - méthode de la fonction muette
    - produit de convolution

    Si tu as des questions, n'hésite pas.
    @+
  • Vivien0
    Vivien0
    Je connais le produit de convolution mais je l'ai utilisé uniquement en EDP ou en signal, jamais en proba Oo, et la fonction muette ca ne me dit rien non plus :/
    Je ne suis pas contre quelques précisions :p
    Merci pour ton aide Sigma :)
  • david69
    david69
    Z et Y ne sont pas supposées indépendantes ?
    Si oui, considère la va (Y, Z), et écris P(y-z <= u) comme intégrale sur un certain domaine de la pdf de (Y, Z).
  • Vivien0
    Vivien0
    Oui les deux va sont effectivements indépendantes !
    Qu'appelles-tu pdf de (Y,Z) ? Et justement je vois mal comment écrire P(y-z <= u) comme intégrale sans connaître la loi (et donc la densité) de Y-Z ?
    Merci pour vos réponses :)
  • Mikaël2
    Mikaël2
    Bonsoir,

    Y et Z étant indépendantes, tu connais la loi du couple (Y,Z). c'est le produit des deux densités.
    après il faut aller au mastic, prendre une fonction g mesurable bornée et calculer $ E[g(Y-Z)] = \int \int g(y-z)f(y)f(z)dydz $ par changement de variable pour te ramener a un ruc de la forme $ \int g(x)h(x)dx $ ainsi h(x)dx sera la densité de X=Y-Z
  • Yves0
    Yves0
    Si Y et Z sont deux variables aléatoires indépendentes et continues, alors comme le faisait remarquer Sigma, tu peux en déduire la densité de Y+Z.

    Cette densité est en effet le produit de convolution des densistés de Y et Z.

    Cordialement
  • Vivien0
    Vivien0
    J'ai un vieux coeff 1/2 qui est apparu avec la méthode de la fonction mesurable borné :/
    Sinon on aurait alors $f_{Y+Z}(x)=\int f_Y(x-y)f_Z(y)dy$ ?
    Je ne connaissais pas cela merci bien :)
    Et donc il me suffit de trouver la loi de $-Z$ pour trouver par cette méthode la loi de $Y-Z$ c'est bien cela?
  • Sigma
    Sigma
    Pour la loi de $-Z$ ça ne doit pas être dur...
    Sinon, la méthode de la fonction muette a été bien expliqué par mikael, rien à ajouter.

    @+
  • david69
    david69
    Désolé de ne pas avoir été plus clair: pdf = probability density function, bref, ici, des lois exponentielles. Quand on te demande de trouver la pdf d'une 'composition' de plusieurs variables, il faut souvent considérer la loi (synonyme de pdf) jointe de ces variables. D'un point de vue scolaire, si on te dit que Z et Y sont indépendantes, c'est souvent qu'il faut utiliser cette propriété...
    <BR>
    <BR> La pdf de Y+Z, c'est l'intégrale double de (Y, Z) (notation de la variable aléatoire jointe de Y, Z) sur le domaine tel que y+z <= w pour w donne :
    <BR>
    <center><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="306" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/12/79440/cv/img1.png&quot; ALT="$ \Bbb{P}[Y+Z <= w] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{w-y}{p_{Y, Z}(y, z)dydz}$"></SPAN>
    </center>
    avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="33" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/12/79440/cv/img2.png&quot; ALT="$ p_{Y,Z}$"></SPAN> la loi jointe de (Y, Z), qui est simplement le produit de la loi de Y et de la loi de Z (c'est là que tu as besoin de l'indépendance).
    <BR>
    <BR> Cette technique marche souvent pour des fonctions de variable aléatoire, aussi, par exemple quelle est la loi de X² connaissant X, etc...<BR>
  • Vivien0
    Vivien0
    je m'enbrouille à nouveau !
    je souhaite utiliser la méthode de la fonction $h$ mesurable continue bornée, je dois donc calculer $\int h(y-z)f_Y(y)f_Z(z)dydz$
    j'attaque donc les calculs :
    $$$I = \int_{\R^2} h(y-z)f_Y(y)f_Z(z)dydz =\int h(y-z)e^{-y}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(y)e^{-z}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(z)dydz
    = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} h(y-z)e^{-y}e^{-z}dydz$$
    Je considére donc $T : \R^2 \rightarrow \R^2$ tel que $(y,z) \rightarrow (y-z,z)$, $T$ est bien un difféomorphisme et j'utilise donc la formule du changement de variable ($|det(T^{-1})|=1$), ce qui me donne
    $$I = \int_{0}^{+\infty}\int_{-z}^{+\infty} h(y)e^{-y}e^{-2z}dydz = \frac{1}{2} \int_{-z}^{+\infty} h(y)e^{-y}dy$$ alors que je devrais retomber sur une loi de laplace...
    Voila je dois faire une erreur quelque part dans le calcul mais je ne vois pas bien où...
    merci d'avance pour votre aide, et merci pour les réponses précédentes !
  • Sigma
    Sigma
    Ta dernière forme pour $I$ dépend de $z$ (car dans les bornes d'intégration) alors que ça ne devrait clairement pas être le cas.

    @+
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français