normes

nico8 · February 2006

Bonjour,

Je bloque à la question d'un exercice.

Voilà l'énoncé :

Soient I = [0,1], h :I -> I une application et ||.|| une norme sur $E=C(I,\R)$. On définit $N_h(f)=||foh||$ pour tout $f\in E$.
On note $||.||_1$ la norme $||f||_1=\int_0^1 |f(t)|dt$.
Montrer que les normes $||.||_1$ et $N_h$ sont équivalentes.

Aux questions d'avant, j'ai montré que $N_h$ est une norme et que l'on a $\int_0^1 |f(h(t))|h'(t)dt=||f||_1$.
Pour montrer l'équivalence, j'ai essayé de diviser une norme par l'autre en espérant obtenir quelque chose de convaincant mais je ne vois rien.
Pouvez-vous m'aider ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Nico

Mikaël2 · February 2006

bonsoir,

quelles sont les hypothèses sur h ?

nico8 · February 2006

Ah oui, excuse, j'ai oublié de les écrire (c'était dans la question précédente) : h est de classe C1 sur I, surjective et h'(t)>0 pour t de I.

Merci

Nico

Mikaël2 · February 2006

c'est bizarre car si on prend h(x)=x et la norme infinie, alors la norme 1 n'est pas équivalente à la norme infinie.

nico8 · February 2006

Oui, c'est aussi ce qui me pose problème. Tu penses que l'énoncé est faux ?

Nicolas

RAISSOUNI Anass · February 2006

Peut être la question est montrer que les deux normes sont non équivalentes

nico8 · February 2006

Non car il y a une dernière question, et on a besoin de l'équivalence pour la résoudre (enfin, c'est comme ça que je l'ai résolue) :
_L'application u de $(E,N_h)$ dans $\R$ définie par $u(f)=\int_0^1 f(t)dt$ est-elle continue ?

Nicolas

corentin0 · February 2006

Mais c'est quoi la définition de $N_h$? C'est le sup de $|f\circ h|$, ou la norme $L^1$?

nico8 · February 2006

$N_h$ est égal à $||foh||$ pour tout f de E et $$||.||$ est une norme quelconque sur $E=C(I,\R)$.

Nicolas

nico8 · February 2006

Oups, il y a eu une erreur, je n'arrive plus à écrire avec les symboles. En fait, tout est dit dans le premier et troisième message. ||.|| est une norme quelconque et N_h est défini par rapport à cette norme (N_h est aussi une norme).

Nicolas

corentin0 · February 2006

Bon ben c'est faux alors.
Quelle est ta réponse à la dernière question?

nico8 · February 2006

Comme mon navigateur ne veut plus écrire les symboles, ça va être dur. Mais en gros, j'ai utilisé la définition de la continuité. Pour la première norme de la définition, j'ai utilisé ||.||1 car elle est équivalente à N_h. Et j'applique cette inégalité de "première norme de la définition" à la "deuxième norme de la définition" et j'en déduis qu'elle est plus petite qu'epsilon.
Voilà, je sais pas si j'ai été clair (probablement pas :-))

Nicolas

corentin0 · February 2006

Donc tu as montré qu'elle est continue?
Pourtant, si on prend la norme suivante:
$N(f)=\int_0^1 |f(t)|(1-t)dt$, et la suite de fonction $f_n$, avec $f_n$ qui vaut $0$ sur $[0,1-\frac{1}{n}]$, affine sur $[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{2n}]$, constante égale à $n$ sur le reste, leur norme $L^1$ est supérieure à $\frac{1}{2}$ tandis que $N(f_n)$ tend vers $0$.

nico8 · February 2006

Oups, j'ai l'impression que tu as raison.
Merci pour ton aide.

Nico

Alain Debreil · February 2006

$N_h$ est égal à $||f\circ h||$ pour tout $f \in E$ et $||.||$ est une norme quelconque sur $E=\mathcal{C}(I,\R)$.

Nicolas

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