Proba: P(X=0)=0???

wheeb0 · February 2006

Bonjour

Je voudrai avoir une petit preuve de la proposition suivante:

Soit $X$ un variable aleatoire definie dans l espace de probabilite $(\Omega,F,P)$, telque la fonction de densite de $X$ $f_X(x)$ soit continue sur $]-\infty,+\infty[$.

Montrer que $P(X=0)=0$.

J ai ma petite preuve, mais j en voudrai une rigoureuse.

On a $P(X\leq x)=\int_{-\infty}^xf_X(u)du$

D ou par continuite de $f_X$

$P(X=x)=\int_{\{x\}}f_X(u)du=0$

Merci

GERARD5 · February 2006

Cela me semble correct. On peut aussi dire que {x} = [x,x].
Cordialement

Saïd7 · February 2006

Non c'est pas rigoureux;

$P(X=x)=P(\bigcap_n (x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))=lim_{n\longrightarrow \infty}P((x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))=lim_{n\longrightarrow \infty}\int _x^{x+\frac{1}{n}}f(u)du =lim_{n\longrightarrow \infty}\frac{1}{n}f(x_n)$

et $x_n $tend vers $x$

juju0 · February 2006

Pour moi, par déf,

$$ P(X=x) = E (1_{X=x}) =\int_{\{x\}}f_X(u)du=0 $$

Eric_B · February 2006

Excuse-moi de la question Saïd, mais comment tu passes de :
$P(\bigcap_n (x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))=lim_{n\longrightarrow \infty}P((x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))$?

Gari · February 2006

Je suis pas sûr, mais ce résultat n'est-il pas valable que si la fonction de densité ne s'annule qu'un nombre dénombrable de fois ?

Ne puis-je pas exhiber un contre-exemple tel que $f_X(x)=0$pour tout $x$ ?

Cette fonction est bien continue, et pourtant la probabilité $P(X=0)=1$.

Richard André-Jeannin2 · February 2006

P(X<=x)=(intégrale de -00 à x)f(u)du

Donc: P(a<X<=b)=P(X<=b)-P(X<=a)=(intégrale de a à b)f(u)du.

0<=P(X=b)<=P(b-1/n<X<=b)=(intégrale de b-1/n à b)f(u)du. Cette intégrale tend vers 0 quand n tend vers l'infini, par continuité de f.

GERARD5 · February 2006

Comme quoi la rigueur, c'est pas rigoureux !
Effectivement, j'ai zappé le fait que < et <= ne sont pas équivalents. Mais quand weeb utilise la continuité de la fonction de répartition, il utilise implicitement le raisonnement sur des intervalles [-1/n,0].

Cordialement

wheeb0 · February 2006

Merci pour vos remarques...

C'est vrai que cela manquait de rigueur note par Said, mais comme l'a note Eric_B, je ne conprends pas ce passage

$P(\bigcap_n (x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))=lim_{n\longrightarrow \infty}P((x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))$

cela suffit (cas de Richard) et evitera tout raisonnement implicite
$P(X=x)=\lim_{n\longrightarrow \infty}P((x\leq X\leq x+\frac{1}{n}))$

et evitera tout raisonnement implicite. Merci Gerard pour la remarque.

Merci

Proba: P(X=0)=0???

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion