sous-espace stable

sophie22 · February 2006

Bonjour

Pourquoi un endomorphisme réel en dim finie possède-t-il une droite ou un plan stable ?

Je pense que c' est lié aux facteurs irréductibles dans R[X] des poly caract et minimal de f ...
Pas de problème si f a une vap (réelle). Sinon, un bon candidat serait un noyau de ...Qui? et pourquoi ? N' y-a-t il pas un pb si les facteurs irréductibles aapparaissent avec une puissance >1 ?
Merci

Mikaël2 · February 2006

bonsoir

il faut regarder la decomposition en facteurs irreductibles du polynome caracteristique sur $\R$, s'il y a un facteur de degré 1, c'est terminé car on a une valeur propre.
sinon, $ \chi_u(X)=(X^2 + a_1X + b_1)...(X^2 + a_rX +b_r) $
par Cayley-Hamilton, $ \chi_u(u)=0 $, donc $ \chi_u(u) $ n'est pas inversible, donc l'un des $ u^2 +a_iu +b_iI $ n'est pas inversible, donc pas injectif. en particulier, on a un $ x $ non nul tel que $ u^2(x) + a_iu(x) + b_ix = 0 $, donc $ vect(x,u(x)) $ est stable par u.

Guego0 · February 2006

Autre méthode : $u$ a une valeur propre complexe : il existe $X$ et $Y$ deux vecteurs (pas tous les deux nuls), et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $u(X+iY) = (\alpha + i \beta)(X+iY)$
En décomposant partie réelle et partie imaginaire, on obtient : $u(X) = \alpha X - \beta Y$ et $u(Y) = \beta X + \alpha Y$.

mounet · February 2006

Si on décompose le polynôme {\bf minimal} sous la forme $ \mu_u(X)=(X-\ell_1)...(X-\ell_r)(X^2 + a_1X + b_1)...(X^2 + a_rX +b_r) $, alors la remarque de mikael s'applique à {\em tous} les facteurs de ce polynôme (et on a des sous-ev stable de dimension 1 ou 2 selon la forme du facteur).

sophie22 · February 2006

Yes!
Merci

Alain Debreil · February 2006

Si on décompose le polynôme {\bf minimal} sous la forme $ \mu_u(X)=(X-\ell_1)...(X-\ell_r)(X^2 + a_1X + b_1)...(X^2 + a_rX +b_r) $, alors la remarque de mikael s'applique à {\em tous} les facteurs de ce polynôme (et on a des sous-ev stable de dimension 1 ou 2 selon la forme du facteur).

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