groupes de type fini

Q/Z n'est pas de type fini

Salut,

Déjà tous les groupes finis sont de type fini.
$(\Z , +)$ est de type fini (engendré par $1$).
Tous les sous-groupes d'un groupe {\bf abélien} de type fini étant de type fini, on en déduit que les $(n \^Z , +)$ ($n \in \N$) sont de type fini.

$(\Q , +)$ n'est pas de type fini. Pour le montrer :
1. Montre que tous les sous-groupes de type finis de $(\Q , +)$ sont monogènes
2. En déduire, par l'absurde, que $\Q$ n'est pas de type fini.

Conséquence : $(\R , +)$ n'est pas de type fini puisque s'il l'était, tous ses sous-groupes le seraient, or $\Q$ ne l'est pas.

En espérant t'avoir aidé.

michaël.

Alain Debreuil > pour définir les groupes de types finis, on n'a pas besoin de distinguer le cas commutatif du cas non-commutatif. Un groupe de type fini est un groupe qui admet une famille finie de générateurs. Les groupes commutatifs de type fini sont alors les $\Z$-modules de type fini.

Pour donner un exemple de groupe de type fini que personne n'a donné, on peut parler des groupes libres. On se donne le groupe engendré par $n$ lettres $a_1, \dots, a_n$, c'est-à-dire les suites fini esformées des symboles $a_1, \dots, a_n$ et $a_1^{-1}, \dots, a_n^{-1}$. En fait, les groupes de type fini sout les quotients de ces groupes.

@+

Oui mickael, cette hypothese est essentielle. Le groupe libre à 2 generateurs par exemple admets des sous-groupes de type infini.

même cause, mêmes effets...

Bonsoir Michaël et Ludivic

Effectivement la distinction entre groupe de type fini abélien et non abélien n'est pas significative puisque dans le cas abélien les deux notions coïncident (de type fini en tant que $\Z$-module et à nombre fini de générateurs).

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Pour ce qui est de tout sous-groupe d'un groupe (non commutatif) de type fini est de type fini, il me semble que c'est faux.
Pour trouver un contre exemple, je pense qu'il faut chercher du coté du produit libre $G=\Z*\Z$ et de son sous-groupe dérivé qui, j'ai bien l'impression (je ne suis pas sûr de la démo qui suit ), n'est pas de type fini.
Si $a,\ b$ sont générateurs de chaque $\Z$ et si on suppose que $D(G)$ est de type fini, alors puisque chaque élément de $D(G)$ est une composition finie de commutateurs, $D(G)$ est engendré par un nombre fini de commutateurs, chacun de la forme $[\prod_ia^{\alpha_i}b^{\beta_i},\prod_j a^{\alpha'_j}b^{\beta'_j}]$. On doit pouvoir ramener cela à des commutateurs de la forme $[a^m,b^m]$ en utilisant des formules comme :
$[uv,w]=u[v,w]u^{-1}[u,w]$ et
$a^nb^m[b^q,a^r](a^mb^n)^{-1} = [a^n,b^{m+q}].[b^{m+q},a^{n+r}].[a^{n+r},b^m].[b^m,a^n]$
qu'on vérifie simplement en développant.
Ces formules permettent de décomposer $[uv,w]$ en produit de commutateurs ou de conjugués de commutateurs plus simples, puis de transformer le conjugué en un produit de commutateurs plus simples, jusqu'à obtenir des commutateurs de type $[a^m,b^n]$ (récurrence horrible ?!).
Ce qui permet de dire que $D(G)$ serait engendré par un nombre fini de commutateurs $[a^{n_i},b^{m_i}]$. Mais alors puisque cette liste est finie, on sait trouver un $[a^n,b^m]$ qui n'est pas dans cette liste, donc qui s'exprime comme produit (fini) d'éléments de cette liste, et alors cela formerait une relation (finie) non simplifiable (?) entre les 2 lettres $a,\ b$ ce qui n'est pas possible dans un produit libre.
J'espère ne pas m'être trompé ! Peut-être cette démo peut se simplifier ?

Alain

On peut citer comme exemple intéressant de groupe de type fini mais non fini le groupe des tresses d'ordre n, qui ressemble à première vue au groupe des permutations de n objets à la différence essentielle près que l'on distingue l'ordre de croisement des brins...

Cela en fait un groupe infini défini par générateurs et relations de la manière suivante : $$ B_n = \left< \sigma_i \ \left\| \ \begin{array}{lll}
\sigma_i \sigma_j &= \sigma_j \sigma_i & \mathrm{pour} \ |i-j|>=2 \\
\sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i &= \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1} & \mathrm{pour\ tout} \ i
\end{array}\right. \right>$$ Pour un tout petit plus de pr\'ecision, voir:
\lien{http://mathworld.wolfram.com/BraidGroup.html}

un groupe de typer fini non commutatif ? le groupe des matrices d'ordre 2 inversibles à coefficients dans $\frac{\Z}{2\Z}$ muni de la multiplication.

ce groupe est bien non commutatif, il est fini (il ne contient que l'identité et les 4 matrices ne contenant qu'un 0) donc de type fini...

t-mouss

Salut,

t-mouss, pour ma part, ce que je cherchais, c'était un groupe non-abélien de type fini dont (au moins) un sous-groupe n'est pas de type fini. Du coup, il faut chercher ailleurs que dans les groupes finis.

Est-ce que quelqu'un peut me rappeler succinctement ce qu'est un groupe libre et un produit libre ?

Merci par avance.

michaël.