contre exemple

grandwazoo · February 2006

Bonjour.

Le théorème de Schauder stipule qu'une fonction continue d'un compact convexe (d'un Banach) admet un point fixe.

Quelqu'un connait-il un contre-exemple qui montre que la condition de compacité est nécessaire ? (par exemple, trouver une fonction continue de la boule unité fermée d'un Hilbert dans elle-même qui n'a pas de point fixe)

Olivier

corentin0 · February 2006

La fonction $x\longrightarrow x+1$ sur $\R$, tout bêtement.
Plus abouti, sur la boule unité de $l^2(\N)$, tu peux prendre le shift à droite. (oui, c'est pareil, j'ai pas beaucoup d'imagination)

grandwazoo · February 2006

Pour ton premier exemple, ça n'envoie pas un compact convexe dans lui-même.

Le shift à droite ne fixe-t-il pas la suite nulle ?
(j'avais pensé à ça)

corentin0 · February 2006

Désolé pour le shift, je m'ai gouré, par contre mon premier exemple est valable, parce que si tu veux compact convexe, on trouvera jamais.

corentin0 · February 2006

Et sur un borné, en feuilletant mes cours je suis tombé sur ça:
sur $l^2$, l'application $(x_1,x_2,...)\longrightarrow (\sqrt{1-\|x\|_2^2},x_0,x_1,...)$, est continue de $B(0,1)\longrightarrow B(0,1)$ sans point fixe.
Le cours utilise cet exemple pour montrer qu'on peut aussi trouver une rétraction de la boule unité...
http://www.ann.jussieu.fr/~ledret/M2Elliptique/chapitre1.pdf, page 8.

grandwazoo · February 2006

Merci...

J'en ai profité pour télécharger tout le cours qui m'a l'air plutôt intéressant.

Finalement, ce n'est pas une idée très différente du shift, on met simplement ce qu'il faut en première coordonnée. Mais bien vu quand même.