Racine de Matrice

Plus explicitement, en notant $A=P^{-1}DP$ avec $D=\mathrm{diag}(\alpha_1,...,\alpha_r,0,...,0)$ (ici $r=\mathrm{rg} \, A$) alors les $B_{\mathbf{\varepsilon}}=P^{-1}D_{\mathbf{\varepsilon}}P$ avec $D_{\mathbf{\varepsilon}}=\mathrm{diag}(\varepsilon_1 \sqrt{\alpha_1},...,\varepsilon_r \sqrt{\alpha_r},0,...,0)$ sont solutions de $B^2=A$ lorsque $\mathbf{\varepsilon}=(\varepsilon_1,...,\varepsilon_r)$ décrit $\{ -1, 1 \}^r$. Mais seule la solution correspondant à $\mathbf{\varepsilon}=(1,...,1)$ est positive.

Je vais peut-être dire une bétise mais avec:

$D=\textrm{diag}(0,\dots,0,\alpha_{1},\dots,\alpha_{r})$ (et $P$ changée en conséquence)

ce ne change-t-il pas la matrice $B$?

egoroff : Le raisonnement de Pingo n'est-il pas équivalent à l'argument de pertubation que tu me donnes?

Lorsque A est une matrice symétrique positive , alors on peut trouver au moins une matrice B symétrique positive telle que B^2=A
<BR>
<BR>Par exemple on peut écrire A= tP D P = tP D'D' P
<BR>avec D'^2=D ( D et D' diagonales)
<BR>Puis A= (tPD'P)(tPD'P)
<BR>et en posant B=tPD'P alors B est symétrique positive et B^2=A
<BR>
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<BR>
<BR>Si vous ne dites nulle part que P est choisie orthogonale, B ne sera pas forcément symétrique !
<BR>Pour l'unicité, on peut aussi remarquer que si B^2=A avec B positive, alors nécessairement B=Q(A), où Q est **le** polynôme qui vérifie Q(lambda_i)=racine(lambda_i) pour les valeurs propres de A (avec degré < au nombre de v.p. distinctes).<BR>

Bonjour, Madec,
si B^2=A et B symetrique positive, tu écris B=P D_B P^(-1) et donc A=P D_A P^(-1) avec D_A=D_B^2 : si Q est le polynôme dont j'ai parlé, on a bien Q(D_A)=D_B et donc aussi Q(A)=B. Comme c'est vrai chaque fois que B^2=A et B symetrique positive, et que Q est unique, B est unique : c'est Q(A) !