classe de conjugaison

c'est un essai, mais comme $ GL_2(F_q) $ est fini de cardinal $ n=q(q-1)^2(q+1) $, tout element u verifie $ u^n=1 $. donc le polynome $ X^n -1 $ est annulateur de u.
c'est la que mes competences en algebre lachent, mais je me lance quand meme:
il me semble que c'est scindé sur $ F_q $ ( q -1 divise n). le polynome minimal de u est donc scindé, donc u est trigonalisable.( peut etre meme jordanisable), il reste donc a choisir les termes diagonaux
- si deux valeurs propres distinctes $ (q-1)(q-2) $ choix
- si termes diagonaux egaux $ 2*(q-1) $ choix $ ( 1 ou 0 en haut a droite )

au total ca ferait (q-1)(2q-3) choix, ca me semble bizarre mais y'a peut etre de l'idée

dis moi ce que t'en penses

ps: rennes monaco ct pas mal

C'est un essai, mais comme $ GL_2(F_q) $ est fini de cardinal $n=q(q-1)^2(q+1)$, tout élément u vérifie $ u^n=1 $. Donc le polynôme $ X^n -1 $ est annulateur de u.
C'est là que mes compétences en algèbre lâchent, mais je me lance quand même :
il me semble que c'est scindé sur $ F_q $ ( $q -1$ divise $n$ ). Le polynôme minimal de u est donc scindé, donc u est trigonalisable.( Peut-être même jordanisable), il reste donc à choisir les termes diagonaux
- si deux valeurs propres distinctes $ (q-1)(q-2) $ choix
- si termes diagonaux égaux $ 2 (q-1) $ choix ( 1 ou 0 en haut à droite )

Au total ça ferait (q-1)(2q-3) choix, ça me semble bizarre mais il y a peut être de l'idée.

Dis-moi ce que t'en penses

PS: Rennes Monaco c'était pas mal

En fait je crois qu'on peut le voir plus rapidement en regardant les invariants de similitude de $M\in GL(n,F_p)$: $P_1 |P_2|...|P_r$. $P_i$ unitaire non constant.
Comme le produit des $P_i$ est le polynome caractéristique, donc de degré 2, on a deux possibilités :
- r=2, $P_1$ et $P_2$ sont de degré 1, et $P_1 |P_2$ donc $P_1=P_2$ (ça correspond au cas diagonalisable, deux valeurs propres égales). Comme M est inversible, il y a $q-1$ possibilités
- r=1, $P_1$ est de degré 2 unitaire, son coefficient constant est non nul car M est inversible, il y a donc $q(q-1)$ possibilités.

Cela fait donc $(q+1)(q-1)$ classes de similitude.


PS pour Pilz : les isomorphismes portaient sur PGL et non GL

C'est mieux en Latex :-)