sous groupes denses de R

cedric561 · February 2006

Bonjour
Existe-il une description ou une classification des sous-groupes denses de R?
Merci d'avance

ignorant zorny0 · February 2006

Bonjour Cédric,

À mon avis, les sous-groupes denses de R sont les sous-groupes H tel que leur intersection avec les réels strictement positifs n'a pas de plus petits éléments strictement positifs (borne inférieure est 0)

On peut se demander si on prend un groupe (G,+) abélien totalement ordonné archimédien, peut-on le trouver un groupe G' tel que G soit un sous-groupe de G et G soit complet. Oui on peut le faire en suivant la même méthode que pour R. Si G est tel que il a un plus petit élément strictement positif, il sera isomorphe à Z et donc discret et G' sera Z. Sinon, on retrouvera R .

Je pense que c'est ca mais j'espère ne pas dire trop de connerie. Quelqu'un pourrait éclairer notre lanterne ?

Cordialement,
Zorny

Pingo · February 2006

Oui les sous groupes additifs sont soit denses soit discrets de la forme aZ. Pour montrer ce résultat:
Soit G un sous groupe additif de IR. Soit G+ l'ensemble des éléments de G strictement positifs. on note a=inf G+.

1er cas: a>0. Montrons que a est inclus dans G+. Comme a est l'inf, alors il existe y élément de G tel que a$\geq$y

Pingo · February 2006

Désolée, je suis nulle en latex. il faut évidemment inverser les signes inférieurs ou égal là où il faut!!

cedric561 · February 2006

En fait, je connais bien le théorème de classification des sous groupes de R. Je recherche plutôt des informations sur les sous groupes denses de R. La seule chose que je sais est qu'un sous groupe de R dense et dénombrable est homéomorphe à Q.

ignorant zorny0 · February 2006

Bonjour Pingo et merci pour ta réponse,

Ta réponse sur les sous-groupes additifs de R est classique : il sont de la forme aZ ou dense dans R et tu donnes la preuve classique de ce résultat ce qui permet de donner une carractérisation des sous-groupes dense à l'aide de la borne inférieur.

Là où je voulais un éclairage était sur le processus de "complétion" d'un groupe additif totalement ordonné archimédien. J'écris rapidement mon raisonnement et pense que c'est faisable : quelqu'un pourrait-il confirmer ? Et en plus je pense que si on ne suppose pas le groupe commutatif, ca marche encore et on peut montrer qu'il est commutatif.

Quelqu'un pourrait-il me dire si j'ai juste et sinon où je pêche et donner quelque précisions ?

Merci
Très cordialement,
Zorny

Probaloser · February 2006

$\Z+\sqrt{2}\Z$ est isomorphe à $\Q$ ??

cedric561 · February 2006

Pour Probaloser: homéomomorphe, oui.

Probaloser · February 2006

Ah, tu voulais donc vraiment écrire "homéomorphe". Bon pourquoi pas. J'avais trouvé ça spontanément trop tordu de chercher des homéomorphismes pour penser que tu avais vraiment écrit ce que tu pensais...

ignorant zorny0 · February 2006

Si le résultat de "construction de R" que j'ai énoncé est faux que peux-t-on dire des groupes additifs totalement ordonnés archimédiens ?
Je pense que comme ca on pourrait avoir une description des sous-groupes denses de R. On déjà retrouver Q. peut-on retrouver :
(R/Q U {0},+) ?

Pingo · February 2006

D'accord. Autant pour moi Zorny. Je n'avais pas compris l'essence de ta question!

Le barbu rasé · February 2006

ignorant zorny: (R/Q U {0},+) n'est pas un sous-groupe de R puisque sqrt(2) et 1-(sqrt(2)) sont dedans, mais pas leur somme (par exemple).

Pilz0 · February 2006

ouais c'est vrai que c'est bizarre les sous groupe dense de $\R$, quand on pense qu' il en existe des non dénombrables...

egoroff · February 2006

zorny : je pense que tu as raison, un groupe totalement ordonné (même sans être archimédien) est certainement abélien, mais je n'arrive pas à le prouver... En tous c'est vrai, il doit bien y avoir une classification de ces machins-là.

ignorant zorny0 · February 2006

Bonjour cédric,

Je me suis appercu hier en rentrant (hélas trop tard pour me corriger) que j'ai dit une grosse ânerie R/Q U {0} n'est un groupe. Et je vois que le barbu rasé était vigilent (vu le nombre d'ânerie que je lance ca fait pas de mal). Mais en réfléchhissant un peu sur R/Q, je me suis rendu compte d'un truc : le groupe engendré par R/Q (de mesure non nul) était R.
Alors n'aurait-on pas :

Si un sous-groupe G de R est Lebesgue-mesurable et de mesure non nulle, alors G=R. (je crois avoir vu ou entendu ca quand j'étais étudiant. c'est vieux ca)

et

Soit G un sous-groupe additif de R, distinct de R. Si G est dense et Lebesgue-mesurable, alors sa mesure est nulle.

Ce qui nous donnerait déjà quelque propriété.

Hier soir j'ai réfléchi sur le premier énoncé : mais ma démo n'est pas au point, je crois. J'y réfléchi encore.

Quelqu'un pourrait nous éclairer sur ces points.? Nous dire si c'est juste au moins.

Quant à la classification des groupes totalement ordonnés archimédiens (ou non), je ne vois rien dessus pour en ce moment.

Cordialement,
Zorny.

Guego0 · February 2006

Oui, un sous-groupe de $\R$ (mesurable) de mesure de lebesgue non nulle est forcément $\R$ tout entier.

Pilz0 · February 2006

Je vois pas trop pourquoi, Guego?

@l · February 2006

Salut,

si $G$ est un sous-groupe additif de $\R$ et qu'en plus il est divisible, $G$ est un $\Q$-espace vectoriel. Il ne reste donc plus qu'à trouver les parties $\Q$-linéairement libres pour générer tous les sous-groupes additifs divisibles.

De plus, on sait que tout groupe a une clôture divisible...

@l

Probaloser · February 2006

Pilz : si $A$ est mesurable et de mesure finie non nulle, alors de :
- la continuité de $1_A * 1_{-A}$,
- l'égalité, pour tout réel $x$, $1_A*1_{-A}(x)=|(x+A) \cap A|$,
- le fait que $1_A*1_{-A}(0)$ soit non nul,
tu déduis le fait que $A-A$ contient un intervalle (non réduit à un singleton) contenant l'origine.

A vérifier.

Guego0 · February 2006

Pilz : c'est normal que tu ne vois pas pourquoi : c'est non trivial. Mais c'est fait dans pas mal de bouquins (dans "La planète R" de Boualem et Brouzet, par exemple)

Probaloser · February 2006

Oui c'est aussi fait juste au-dessus...

sous groupes denses de R

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