Antipoint de Steiner
Bonjour,
1 - $ABC$ est un triangle,
2 - $H$ est l'orthocentre de $ABC$,
3 - $\odot(O)$ est le cercle circonscrit de $ABC$,
4 - $H^*$ est le conjugué isotomique de $H$ dans le triangle $ABC$,
5 - $d_1, d_2$ sont deux droites qui passent respectivement par $B, C$, telles que $d_1\parallel d_2$,
6 - $d_1^+$ est l'image par conjuguaison isogonale de $d_1$ dans le triangle $ABC$,
7 - $d_2^+$ est l'image par conjuguaison isogonale de $d_2$ dans
le triangle $ABC$.
8 - $d_1^-$ est l'image par conjuguaison isotomique de $d_1$
dans le triangle $ABC$,
9 - $d_2^-$ est l'image par conjuguaison isotomique de $d_2$
dans le triangle $ABC$,
10 -$d_1^+\cap d_2^+=X, \quad d_1^-\cap d_2^-=Y$.

Montrer que $XY$ passe par l'antipoint de Steiner de la droite $HH^*$.
Réponses
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Bonjour,
Tout vient à point à qui sait attendre:% Bouzar - 07 Janvier 2025 - Antipoint de Steiner clear all, clc syms a b c real % Notations de Conway Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa; A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle MBC BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC %----------------------------------------------------------------------- syms u v w x y z real f(x,y,z)=a^2*y*z+b^2*z*x+c^2*x*y; % Cercle circonscrit au triangle ABC H=[Sbc; Sca; Sab]; % Orthocentre du triangle ABC Hstar=[Sa; Sb; Sc]; % Son isotomique (c'est X69) V=[v-w, w-u, u-v]; % Un vecteur V quelconque D1=Wedge(B,V); % D1=[u-v, 0, w-v] D2=Wedge(C,V); % D2=[u-w, v-w, 0] D1plus=[c^2*(w-v), 0, a^2*(u-v)]; D2plus=[b^2*(v-w), a^2*(u-w), 0]; X=Wedge(D1plus,D2plus); % X=[a^2*(u-v)*(u-w); b^2*(v-w)*(v-u); c^2*(w-u)*(w-v)] VerifX=Factor(f(X(1),X(2),X(3))) % VerifX=0 donc X est sur le cercle circonscrit D1moins=[w-v, 0, u-v]; D2moins=[v-w, u-w, 0]; Y=Wedge(D1moins,D2moins); % Y=[(u-v)*(u-w); (v-w)*(v-u); (w-u)*(w-v)] XY=SimplifieBary(Wedge(X,Y)); % Droite (X Y) % XY=[a^2*(b^2-c^2)*(v-w), b^2*(c^2-a^2)*(w-u), c^2*(a^2-b^2)*(u-v)] NulZ=Factor(f(x,y,-(XY(1)*x+XY(2)*y)/XY(3))); % On trouve (b^2-c^2)*x + (a^2-c^2)*y = 0 donc: zx=c^2-a^2; zy=b^2-c^2; zz=-(XY(1)*zx+XY(2)*zy)/XY(3); Z=SimplifieBary([zx; zy; zz]); % On trouve: Z=[(c^2-a^2)*(a^2-b^2); (a^2-b^2)*(b^2-c^2); (b^2-c^2)*(c^2-a^2)]; % C'est le point de Steiner X99 qui est l'antipoint de Steiner % de la droite (H H*). On le vérifie: Za=SymetriqueOrthogonalBary(Z,BC,a,b,c); HHstar=Wedge(H,Hstar); NulZa=Factor(HHstar*Za) % On trouve NulZa=0 donc Za est sur la droite (H H*) et permutation % circulaire
Cordialement,
Rescassol
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Bonsoir Rescassol,Merci pour ta contribution.Amicalement
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Bonsoir,
$Y$ et $Z$ sont tous deux sur l'ellipse de Steiner circonscrite.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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