Antipoint de Steiner

Bonjour,
1 - $ABC$ est un triangle,
2 - $H$ est l'orthocentre de $ABC$,
3 - $\odot(O)$ est le cercle circonscrit de $ABC$,
4 - $H^*$ est le conjugué isotomique de $H$ dans le triangle $ABC$,
5 - $d_1, d_2$ sont deux droites qui passent respectivement par $B, C$, telles que $d_1\parallel d_2$,
6 - $d_1^+$ est l'image par conjuguaison isogonale de $d_1$ dans le triangle $ABC$,
7 - $d_2^+$ est l'image par conjuguaison isogonale de $d_2$ dans le triangle $ABC$.
8 - $d_1^-$ est l'image par conjuguaison isotomique de $d_1$ dans le triangle $ABC$,
9 - $d_2^-$ est l'image par conjuguaison isotomique de $d_2$ dans le triangle $ABC$,
10 -$d_1^+\cap d_2^+=X, \quad d_1^-\cap d_2^-=Y$.

Montrer que $XY$ passe par l'antipoint de Steiner de la droite $HH^*$.
Amicalement

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (13 Jan)
    Bonjour,

    Tout vient à point à qui sait attendre:
    % Bouzar - 07 Janvier 2025 - Antipoint de Steiner
    
    clear all, clc
    
    syms a b c real
    
    % Notations de Conway
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;
    
    A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle MBC
    BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms u v w x y z real
    
    f(x,y,z)=a^2*y*z+b^2*z*x+c^2*x*y; % Cercle circonscrit au triangle ABC
    
    H=[Sbc; Sca; Sab]; % Orthocentre du triangle ABC
    Hstar=[Sa; Sb; Sc]; % Son isotomique (c'est X69)
    
    V=[v-w, w-u, u-v]; % Un vecteur V quelconque
    D1=Wedge(B,V); % D1=[u-v, 0, w-v]
    D2=Wedge(C,V); % D2=[u-w, v-w, 0]
    
    D1plus=[c^2*(w-v), 0, a^2*(u-v)]; D2plus=[b^2*(v-w), a^2*(u-w), 0];
    X=Wedge(D1plus,D2plus); % X=[a^2*(u-v)*(u-w); b^2*(v-w)*(v-u); c^2*(w-u)*(w-v)]
    VerifX=Factor(f(X(1),X(2),X(3))) % VerifX=0 donc X est sur le cercle circonscrit
    
    D1moins=[w-v, 0, u-v]; D2moins=[v-w, u-w, 0];
    Y=Wedge(D1moins,D2moins); % Y=[(u-v)*(u-w); (v-w)*(v-u); (w-u)*(w-v)]
    
    XY=SimplifieBary(Wedge(X,Y)); % Droite (X Y)
    % XY=[a^2*(b^2-c^2)*(v-w), b^2*(c^2-a^2)*(w-u), c^2*(a^2-b^2)*(u-v)]
    
    NulZ=Factor(f(x,y,-(XY(1)*x+XY(2)*y)/XY(3)));
    % On trouve (b^2-c^2)*x + (a^2-c^2)*y = 0 donc:
    zx=c^2-a^2; zy=b^2-c^2; zz=-(XY(1)*zx+XY(2)*zy)/XY(3);
    Z=SimplifieBary([zx; zy; zz]); % On trouve:
    Z=[(c^2-a^2)*(a^2-b^2); (a^2-b^2)*(b^2-c^2); (b^2-c^2)*(c^2-a^2)];
    % C'est le point de Steiner X99 qui est l'antipoint de Steiner
    % de la droite (H H*). On le vérifie:
    
    Za=SymetriqueOrthogonalBary(Z,BC,a,b,c);
    HHstar=Wedge(H,Hstar);
    NulZa=Factor(HHstar*Za)
    % On trouve NulZa=0 donc Za est sur la droite (H H*) et permutation
    % circulaire
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir Rescassol,
    Merci pour ta contribution.
    Amicalement
  • Bonsoir,

    $Y$ et $Z$ sont tous deux sur l'ellipse de Steiner circonscrite.

    Cordialement,
    Rescassol

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