Donner des colles en prépa scientifique et éco

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Réponses

  • @gebrane Rescassol a répondu à ta question pas à celle de JLT. Sa condition n'est pas nécessaire pour le problème de JLT.
    OShine a dit que la nuit porte conseil, à défaut de lui porter conseil peut-être qu'elle lui apportera un autre mp :mrgreen:
  • raoul.S a dit :
    @gebrane Rescassol a répondu à ta question pas à celle de JLT. Sa condition n'est pas nécessaire pour le problème de JLT.
    OShine a dit que la nuit porte conseil, à défaut de lui porter conseil peut-être qu'elle lui apportera un autre mp :mrgreen:
    Non pas de MP.
    Je réfléchis encore.
  • bd2017 a dit :
    Bonjour
    Ensuite  ma question supplémentaire pour la colle.  Soit A et B  deux matrices de taille $n$  qui sont de rang 1.  
    Que dire du rang de  A + B,  de AB?   

    Inégalité ou égalité ? 
    Pour le rang de $A+B$ j'au une inégalité seulement.
  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    @Ericpasloggue
    C'est une prépa de quel niveau ? Pour savoir la difficulté de l'exercice.
    Les exercices ne me semblent pas classiques du tout, et demandent de la réflexion.
    Je ne suis pas sûr d'en réussir un seul. Je vais essayer mais je ne suis pas confiant.
  • Exercice : 
    A quelle condition nécessaire et suffisante sur trois vecteurs $a,b,c\in\R^3$ existe-t-il un endomorphisme $T$ tel que $\ker T=\mathrm{Vect}\{a,b\}$ et $\mathrm{Im}\,(T)=\mathrm{Vect}(c)$ ?

    Bon, je n'ai rien trouvé, cet exercice est au-dessus de mon niveau  :'(  
    Je ne vois pas comment trouver des conditions sur $a,b,c$ à partir des hypothèses, je ne vois pas comment démarrer, j'aurais rendu copie blanche sur cet exercice.


  • @Oshine: si un tel T existe, alors, d'après le théorème du rang, ...
  • Merci ça m'a débloqué. Je propose cette solution. 
    Si un tel endomorphisme existe, d'après le théorème du rang, on aurait : $rg(T)+\dim \ker (T)=3$
    Ainsi, forcément, $\dim \ker(T)=2$ et $rg(T)=1$.
    Donc $c \ne 0$, $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires et $c \notin Vect(a,b)$.
    Réciproquement, supposons $c \ne 0$, $a$ et $b$ non colinéaires et $c \notin Vect(a,b)$.
    $(a,b)$ est donc une famille libre dans le $\R$ espace vectoriel $\R^3$.
    $(a,b,c)$ est une base de $\R^3$ donc $Vect(a,b) \oplus Vect(c)= \R^3$.
    Soit $T$ la projection sur $Vect(a,b)$ parallèlement à $Vect(c)$.
    Alors : $Vect(a,b)=Im(T)$ et $Vect(c)=\ker(T)$.
    La condition nécessaire et suffisante pour qu'une tel endomorphisme existe est : 
    $\boxed{c \ne 0 \ , \ a \ \text{et} \ b \ \text{ne sont pas colinéaires} \ , \ \text{et} \ c \notin Vect(a,b)}$





  • JLapin
    Modifié (11 Jan)
    OShine a dit :
    Si un tel endomorphisme existe, d'après le théorème du rang, on aurait : $rg(T)+\dim \ker (T)=3$
    Ainsi, forcément, $\dim \ker(T)=2$ et $rg(T)=1$.
    Donc $c \ne 0$, $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires et $c \notin Vect(a,b)$.

    Tu peux préciser ce "forcément" et ce "donc" ?
    Tu penses qu'il existe actuellement un seul colleur en prépa qui doive systématiquement préparer et présenter à quelqu'un de plus fort en maths une correction complète de chaque exercice qu'il va poser aux élèves pour vérifier qu'il n'y a pas de bêtise dans la correction ?
  • Oui, j'ai été trop vite, et je n'ai rien expliqué.
    Comme $\ker(T)=Vect \{a,b \}$, on a $\dim \ker(T) \leq 2$.
    De même, $\dim Im(T) \leq 1$.
    Par l'absurde, si $\dim \ker (T) \ne 2$ ou $rg(T) \ne 1$, alors on aurait $\dim \ker (T) \leq 1$ ou $\dim Im (T) =0$.
    Mais le théorème du rang donnerait $rg(T)=3 - \dim \ker (T) \geq 3-1 \geq 2$ ce qui est exclu, ou bien $\dim \ker (T)=3$, ce qui est aussi exclu.


  • Rien ne dit que l’image et le noyau de $T$ sont en somme directe !
  • Je n'ai jamais écrit ça.
    Si $(a,b,c)$ est une base de $\R^3$, alors $Vect \{a,b \}$ et $Vect \{ c \}$ sont en somme directe.
    C'est un résultat classique de sup.
  • Tu as justifié le "forcément" mais pas le "donc". Relis bien attentivement mon message et sa citation.
  • @JLapin
    Ce qui est après le "donc" me semble une évidence.

  • Alors détaille cette "évidence"...
  • NicoLeProf
    Modifié (11 Jan)
    Oui attention aux "donc" trop rapides. Cet exo est plus subtil qu'il le paraît.
    Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \in M_{3}(\mathbb R^3)$ dont l'endomorphisme canoniquement associé est noté $T$ vérifie bien les conditions de l'énoncé de JLT et on a bien $rg(T)=1$ et $\dim(\ker T)=2$ mais $Im T \cap \ker T$ est de dimension $1$.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    Déjà si $c=0$ alors $Vect(c)=\{0\}$ qui est l'espace vectoriel nul, ce qui contredit le fait que $\dim Im(T)=1$.
    Donc $c \ne 0$.
    $\dim \ker (T)=2$ donc $(a,b)$ est libre donc $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires.
    Le dernier résultat provient du cours de sup.



  • Bonjour,
    Le dernier résultat provient du cours de sup

    Peux-tu argumenter plus ?


  • NicoLeProf a dit :
    Oui attention aux "donc" trop rapides. Cet exo est plus subtil qu'il le paraît.
    Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \in M_{3}(\mathbb R^3)$ dont l'endomorphisme canoniquement associé est noté $T$ vérifie bien les conditions de l'énoncé de JLT et on a bien $rg(T)=1$ et $\dim(\ker T)=2$ mais $Im T \cap \ker T$ est de dimension $1$.
    Comment tu trouves la dimension de $Im(T) \cap \ker(T)$ ?
  • Je répète : peux-tu argumenter plus ? Le scan que tu as ajouté n'est absolument pas un argument.
  • Vassillia
    Modifié (11 Jan)
    Bonjour, il me semble que ce fil pourrait être scindé entre les questions portant sur le fait de donner des colles, qui peut intéresser n'importe quel lecteur et lectrice, et les exercices de maths pour OShine.
    Je ne suis pas sûre ce soit un bon exemple de questions que devraient se poser des futurs colleurs ou colleuses et cela pourrait donner une image peu pertinente des capacités requises pour ce travail.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • GaBuZoMeu a dit :
    Je répète : peux-tu argumenter plus ? Le scan que tu as ajouté n'est absolument pas un argument.
    Oui j'ai mal compris la proposition 5.
  • OShine a dit :
    NicoLeProf a dit :
    Oui attention aux "donc" trop rapides. Cet exo est plus subtil qu'il le paraît.
    Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \in M_{3}(\mathbb R^3)$ dont l'endomorphisme canoniquement associé est noté $T$ vérifie bien les conditions de l'énoncé de JLT et on a bien $rg(T)=1$ et $\dim(\ker T)=2$ mais $Im T \cap \ker T$ est de dimension $1$.
    Comment tu trouves la dimension de $Im(T) \cap \ker(T)$ ?

    Pourquoi tu poses cette question ? Tu bloques ?
  • OShine a dit :
    Comment tu trouves la dimension de $Im(T) \cap \ker(T)$ ?
    Bah trouve d'abord $Im(T)$ et $\ker T$ dans mon exemple, ce qui prend honnêtement quelques secondes par lecture de la matrice puis tu vas tout de suite en déduire l'intersection.
    Je trouve que tu as beaucoup progressé mais ce que j'ai encore du mal à comprendre en te lisant est l'écart vraiment très important entre tes interventions : certaines sont très pertinentes, d'autres comme cette question sont étranges car très élémentaires à côté de ce que tu es capable de fournir. Il faut vraiment avoir davantage confiance en toi et en tes capacités bien réelles et donc gagner en autonomie ! Tu es capable d'y arriver ! :)
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • NicoLeProf a dit : 
    mais ce que j'ai encore du mal à comprendre en te lisant est l'écart vraiment très important entre tes interventions
    Ça dépend si Jiminy Cricket est présent ou pas :mrgreen:
  • Les limites de ChatGPT...
  • @raoul.S  
    😪

    @NicoLeProf
    Bien évidemment.
    Mais comme je bloque depuis 1 journée sur l'exercice je commence à être découragé et à dire n'importe quoi.

  • $Im(T) \cap \ker(T) \subset Im (T)$.
    Donc l'intersection est de dimension $0$ ou $1$.
    Cette intersection étant un sous-espace vectoriel contenant un vecteur non nul, la dimension est $1$.

    Sinon j'abandonne pour l'exercice de JLT, si quelqu'un veut donner sa solution je suis preneur.

    J'ai des pistes pour les exercices de bd2017 et je pense pouvoir y arriver car ils sont proches du cours.
  • raoul.S
    Modifié (11 Jan)
    OShine a dit : 
    Sinon j'abandonne pour l'exercice de JLT, si quelqu'un veut donner sa solution je suis preneur.
    La solution c'est celle que tu as donnée ICI : $c\neq 0$ et $(a,b)$ libre. Il ne reste qu'à montrer que cette condition est suffisante : c'est là où tu bloques normalement...
  • Ok @raoul.S je vais essayer alors.
    Mon raisonnement avec la somme directe était faux.
  • L'unique solution est zéro
    1 n'est pas valeur propre 
  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    Supposons $(a,b)$ libre et $c \ne 0$.
    Alors $Vect(c)$ est une droite vectorielle.
    $(a,b)$ étant libre, $Vect(a,b)$ est un plan vectoriel.
    Et ensuite, je bloque. Je ne vois pas l'idée pour construire l' endomorphisme $T$ qui convient.

    J'ai pensé à compléter la famille libre $(c)$ en une base de $\R^3$ mais ensuite je bloque rapidement.

  • Bonsoir,

    Quand on a une base, on peut construire un endomorphisme en choisissant arbitrairement chacune des images des vecteurs de cette base.

    Cordialement,
    Rescassol

  • En complétant $(a,b)$ en une base.
  • Tu complètes en une base a,b , d et tu prends T(a)=T(b)=0 et T(d)=c

    Tu complètes en une base a,b , d et tu prends T(a)=T(b)=0 et T(d)=?

    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    Oui c'est ce que j'avais trouvé après une longue réflexion.
    On complète $(a,b)$ en une base $(a,b,c')$ de $\R^3$.
    Un endomorphisme est entièrement déterminé par les images des vecteurs d'une base.
    On prend $T(a)=T(b)=0$ et $T(c')=c \ne 0$.
    On a bien $\ker(T)=Vect \{a,b \}$ et $Im(T)= Vect \{ c \}$.

    Je vais passer aux exos de bd2017 sur le rang.


  • Hello @Oshine. Concernant mon exercice, je ne demande pas une solution complète  mais seulement une ébauche de solution. A mon avis, ce qui est important c'est la réactivité. En particulier à l'oral, il est important de faire un ou deux pas. C'est mieux que de ne rien faire. Tu dis avoir obtenu une inégalité, c'est à dire que tu as surement commencer un raisonnement. Dis ce qu'il est et puis attend les critiques... si c'est bon on te donnera  certainement de nouvelles indications, sinon on n'ouvrira une autre piste.   
     
  • @OShine : Et si, dans l’exo de JLT, on remplace $T$ par $T$ nilpotent ?
  • Je ne sais pas s'il connait la caractérisation des matrices de rang 1, ca permet de regler le cas AB en une ligne
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Gai requin je ne comprends pas ta question on gardes les hypothèses sur le noyau et l'image ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Oui, condition sur $a,b,c$ pour qu'il existe $T$ nilpotent tel que $Ker(T)=Vect(a,b)$ et $Im(T)=c$.
  • Merci Jlapin
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Si on prend cette question de G.R (ou la question originale de JLT) : quelle est la CNS sur $a,b,c$... 
    Si on pose cette question dans une SUP quelconque de 3ème zone , 
    On a quelle proportion d'élèves qui savent donner la réponse quasi instantanément ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Très très faible probablement, et même pour une sup avec des élèves beaucoup plus forts. Pourquoi cette question ?
  • gebrane
    Modifié (12 Jan)
    Une question supplémentaire :
    A quelle condition nécessaire et suffisante sur trois vecteurs $a,b,c\in\R^3$ existe-t-il un endomorphisme $T$ tel que $\ker T=\mathrm{Vect}\{a,b\}$ et $\mathrm{Im}\,(T)=\mathrm{Vect}\{a,c\}$ ?

    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • raoul.S
    Modifié (12 Jan)
    gai requin a dit :
    @OShine : Et si, dans l’exo de JLT, on remplace $T$ par $T$ nilpotent ?
    Soyons fous : donner également l'indice de nilpotence de $T$.
  • raoul tu es le diable
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @JLapin
    Pourquoi je pose cette question ? Tu le sais bien, mais ce qui va sans dire va mieux en le disant, donc je te réponds.

    Je pose cette question d'une part pour savoir la réponse. Et ta réponse (que je pense sincère) m'interpelle un peu. Surtout le complément que tu donnes, à savoir que même dans une bonne prépa, on aurait peu de gens qui savent répondre à ça quasi instantanément. J'ai hésité entre SUP et SPE... peut-être qu'on aurait une plus forte proportion en SPE.
    Et l'autre raison de poser cette question, elle 'disparaît' vu ta réponse. Pour moi, un kholleur doit être aussi doué que ses élèves (aussi doué, pas plus faible ... on le formule comme on veut). Si on m'avait répondu que la moitié des élèves d'une prépa quelconque savait répondre à cet exercice instantanément, ça aurait été un sacré élément de motivation pour OShine pour qu'il élève son niveau avant de postuler à ce job.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
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