Quatre points cocycliques

Bonsoir,
simple mais surprenant...

1. ABC un triangle
2. D le pied de la A-bissectrice intérieure
3. T le point d'intersection de la médiatrice de [AD] et de la perpendiculaire à (BC) en D.

Question : B, P, T et C sont cocycliques. 

Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • Bouzar
    Modifié (7 Jan)
    Bonjour Jean-Louis,
    Voici une illustration.

    Sincèrement
  • Bouzar
    Modifié (7 Jan)
    Voici des autres propriétés de ta configuration.
    Question 2 : $ADT$ est un triangle isocèle.
    Question 3 : Les triangles $ATP, BDT, CDT, DTP, ITP$ sont rectangles.
    Question 4 : Les cercles $\odot(ATP), \odot(ABC)$ sont tangents.
    Question 5 : La droite $(BC)$ est tangente au cercle $\odot(DTP)$ au point $D$.
    Question 6 : Les cercles $\odot(ABD), \odot(BCI)$ sont orthogonaux.

    Amicalement
  • Oups! 
    P est le milieu de [AD].

    Désolé
    Jean-Louis
  • pappus
    Modifié (7 Jan)
    Mon cher Jean-Louis
    Meilleurs Voeux et Merci pour toutes tes énigmes.
    Sur ma figure, $AE$ est la bissectrice extérieure, on a donc une division harmonique:
    $$(B,C,D,E)=-1$$
    $F$ est le milieu de $DE$, (Axiome de Thalès)
    $$FD^2= FE^2=\overline{FB}.\overline{FC}$$ (relation de Newton).
    Dans le triangle rectangle $DFQ$, on a:
    $$FD^2=\overline{FP}.\overline{FQ}$$
    Ainsi
    $$\overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FP}.\overline{FQ}$$
    Et les points $B$, $C$, $P$, $Q$ sont cocycliques.
    Amitiés
    pappus










  • Chaurien
    Modifié (9 Jan)
    L'énoncé initial ne définit pas le point $P$. Est-ce le milieu de $AD$ ? Fallait-il le deviner ?
  • Bonsoir,

    Oui, Chaurien, Jean-Louis l'a précisé dans son deuxième message le 7 janvier.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    Modifié (25 Jan)
    Bonjour,
    ________________________
    var('a b c')

    def milieu(vec1,vec2):
       vec=vec1/(Linf*vec1)+vec2/(Linf*vec2)
        # vec=simple(vec)
       return vec

    def ver(vec):
        vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2*vec[0]*vec[1])/(vec[0]+vec[1]+vec[2])])
        return vecteur

    def perpendiculaire(droite,point,pyth,Linf):
      inf=droite.cross_product(Linf)
      droiteortho=pyth*inf
      orthopoint=droiteortho.cross_product(Linf)
      perp=orthopoint.cross_product(point)  
      return perp

    def med(F,G):
        FG=F.cross_product(G)
        med=perpendiculaire(FG,milieu(F,G),pyth,Linf)
        return med

    def cercle(vec1,vec2,vec3):
        mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
        c1=det(mat[(1,2,3),:])
        c2=-det(mat[(0,2,3),:])
        c3=det(mat[(0,1,3),:])
        c4=-det(mat[(0,1,2),:])
        return vector([c1,c2,c3,c4])

    def gram(cer1,cer2):
        return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2

    A=vector([1,0,0])
    B=vector([0,1,0])
    C=vector([0,0,1])
    Linf=vector([1,1,1])
    I=vector([a,b,c])
    BC=B.cross_product(C)
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
    S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2  # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
    pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
    matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2)
    #quartique de l’espace des cycles

    AI=A.cross_product(I)
    D=AI.cross_product(BC)

    T=med(A,D).cross_product(perpendiculaire(BC,D,pyth,Linf))
    P=milieu(A,D)
    print (factor(det(matrix([ver(C),ver(B),ver(P),ver(T)]))))

    ABC=cercle(A,B,C)
    ATP=cercle(A,T,P)
    print(factor(gram(ABC,ATP)))
    _________________________
    fournit le résultat demandé dans le message original.$\square$
    Et fournit en outre le fait annoncé par bouzar(question 4) que les cercles $\odot(ATP), \odot(ABC)$ sont tangents. [Les procédures utilisées dans ce dernier point sont issues de celles fournies ici.]
    Cordialement



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