Quatre points cocycliques

dans Géométrie
Bonsoir,
simple mais surprenant...
1. ABC un triangle
2. D le pied de la A-bissectrice intérieure
3. T le point d'intersection de la médiatrice de [AD] et de la perpendiculaire à (BC) en D.
Question : B, P, T et C sont cocycliques.
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
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Bonjour Jean-Louis,Voici une illustration.Sincèrement
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Voici des autres propriétés de ta configuration.Question 2 : $ADT$ est un triangle isocèle.Question 3 : Les triangles $ATP, BDT, CDT, DTP, ITP$ sont rectangles.Question 4 : Les cercles $\odot(ATP), \odot(ABC)$ sont tangents.Question 5 : La droite $(BC)$ est tangente au cercle $\odot(DTP)$ au point $D$.Question 6 : Les cercles $\odot(ABD), \odot(BCI)$ sont orthogonaux.Amicalement
-
Oups!
P est le milieu de [AD].
Désolé
Jean-Louis -
Mon cher Jean-LouisMeilleurs Voeux et Merci pour toutes tes énigmes.Sur ma figure, $AE$ est la bissectrice extérieure, on a donc une division harmonique:$$(B,C,D,E)=-1$$$F$ est le milieu de $DE$, (Axiome de Thalès)$$FD^2= FE^2=\overline{FB}.\overline{FC}$$ (relation de Newton).Dans le triangle rectangle $DFQ$, on a:$$FD^2=\overline{FP}.\overline{FQ}$$Ainsi$$\overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FP}.\overline{FQ}$$Et les points $B$, $C$, $P$, $Q$ sont cocycliques.Amitiéspappus
-
L'énoncé initial ne définit pas le point $P$. Est-ce le milieu de $AD$ ? Fallait-il le deviner ?
-
Bonsoir,
Oui, Chaurien, Jean-Louis l'a précisé dans son deuxième message le 7 janvier.
Cordialement,
Rescassol
-
Bonjour,sagemath via________________________var('a b c')
def milieu(vec1,vec2):
vec=vec1/(Linf*vec1)+vec2/(Linf*vec2)
# vec=simple(vec)
return vec
def ver(vec):
vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2*vec[0]*vec[1])/(vec[0]+vec[1]+vec[2])])
return vecteur
def perpendiculaire(droite,point,pyth,Linf):
inf=droite.cross_product(Linf)
droiteortho=pyth*inf
orthopoint=droiteortho.cross_product(Linf)
perp=orthopoint.cross_product(point)
return perp
def med(F,G):
FG=F.cross_product(G)
med=perpendiculaire(FG,milieu(F,G),pyth,Linf)
return med
def cercle(vec1,vec2,vec3):
mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
c1=det(mat[(1,2,3),:])
c2=-det(mat[(0,2,3),:])
c3=det(mat[(0,1,3),:])
c4=-det(mat[(0,1,2),:])
return vector([c1,c2,c3,c4])
def gram(cer1,cer2):
return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2
A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
Linf=vector([1,1,1])
I=vector([a,b,c])
BC=B.cross_product(C)
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2 # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2)
#quartique de l’espace des cycles
AI=A.cross_product(I)
D=AI.cross_product(BC)
T=med(A,D).cross_product(perpendiculaire(BC,D,pyth,Linf))
P=milieu(A,D)
print (factor(det(matrix([ver(C),ver(B),ver(P),ver(T)]))))
ABC=cercle(A,B,C)
ATP=cercle(A,T,P)
print(factor(gram(ABC,ATP)))_________________________fournit le résultat demandé dans le message original.$\square$Et fournit en outre le fait annoncé par bouzar(question 4) que les cercles $\odot(ATP), \odot(ABC)$ sont tangents. [Les procédures utilisées dans ce dernier point sont issues de celles fournies ici.]Cordialement
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