
Devoir en temps libre 4e : Pythagore
Bonjour à toutes et à tous,
Voici un devoir en temps libre (temps réduit à 5 semaines dont deux de vacances d'automne) consistant en une démonstration du théorème de Pythagore.
Je l'ai donné à des 4e du collège où j'enseigne (ville de Tours Métropole, privé sous contrat avec l'Etat, IPS moyen : 118). Il est la première partie d'un "dossier Pythagore" complété durant toute l'année et se concluant par un exposé oral autour d'un thème connexe (triplets, spirale, lunules par ex.). Le dossier comporte des travaux individuels évalués (comme ce DTL) et des travaux en groupe (découverte de la contraposée, de la réciproque, exposé).
Concernant ce devoir :
Bon dimanche !
M.
Ps. Cela fait longtemps que je ne suis pas venu sur ce forum, aussi je souhaite que la discussion ne parte pas en quenouille (il a mis l'IPS, il doit donc woke; il fait des travaux en groupe, il doit donc vouloir se faire bien voir, etc.), raison pour laquelle je me suis mis en retrait.
Voici un devoir en temps libre (temps réduit à 5 semaines dont deux de vacances d'automne) consistant en une démonstration du théorème de Pythagore.
Je l'ai donné à des 4e du collège où j'enseigne (ville de Tours Métropole, privé sous contrat avec l'Etat, IPS moyen : 118). Il est la première partie d'un "dossier Pythagore" complété durant toute l'année et se concluant par un exposé oral autour d'un thème connexe (triplets, spirale, lunules par ex.). Le dossier comporte des travaux individuels évalués (comme ce DTL) et des travaux en groupe (découverte de la contraposée, de la réciproque, exposé).
Concernant ce devoir :
- la construction, la rédaction et les erreurs sont miennes ;
- les prérequis sont ceux de 5e ;
- les rotations n'ont pas été étudiées ;
- les triangles égaux n'ont pas été étudiés ;
- le théorème de Pythagore a été auparavant introduit (carrés et aires, racines carrés), énoncé et utilisé (calculs d'aires et de longueurs) ;
- il fait délibérément l'économie de l'utilisation de la double distributivité (deuxième démonstration envisagée comme un complément facultatif).
Bon dimanche !
M.
Ps. Cela fait longtemps que je ne suis pas venu sur ce forum, aussi je souhaite que la discussion ne parte pas en quenouille (il a mis l'IPS, il doit donc woke; il fait des travaux en groupe, il doit donc vouloir se faire bien voir, etc.), raison pour laquelle je me suis mis en retrait.
Réponses
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BonjourJ'ai regardé uniquement la première étape (figure 1). Je ne connais pas dans quelles conditions se fait cet exercice et je ne connais pas le niveau de tes élèves. donc mes remarques sont surement critiquables.Je trouve que pour faire le travail attendu, il faut que les élèves aient un sacré recul.En effet, les élèves doivent comprendre ce que signifie la phrase "nous faisons huit copies identiques de .." (en fait 4 pour la première figure et 4 pour la seconde)... et ensuite que a priori la figure donnée ne fait pas de $AHFD$ un quadrilatère (c'est à dire pour être plus précis que $E$ est sur le segment $[FD]$ et de même que $C$ est sur le segment $[AD]$ ). Ce n'est pas donné même si mathématiquement le raisonnement peut être intéressant.Maintenant ce qui me gêne c'est cette démarche ou démonstration compliquée. Est-ce volontaire? Est-ce dans le but de faire raisonner les élèves ou alors il y a une autre raison?Personnellement, pour la démonstration de Pythagore, je serais parti de la façon la plus naturelle possible: Soit $AHFD$ un carré dont les côtés mesurent $b+c$ et soient les points B, C,G,E tels que $B$ est sur $[AH]$ et $d(A,B)=c $.....exct... Il faudra alors démontrer que $BCEG $ est un carré mais ça c'est assez facile (on a un losange de façon évidente et il suffit de montrer qu'on a un angle droit....par exemple en $B$ mais les angles sont clairement identifiés)
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salut
pour compléter la réponse précédente :
quand je vois le premier encadré (indications et consignes) je décomposerai clairement ce devoir en deux parties :
partie 1 : avec la première figure
partie 2 : avec la deuxième figureCe ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Bravo pour oser poster ton travail, ce n'est jamais simple, ici pas plus qu'ailleurs!Ce DM correspond à la démonstration que je fais en classe du théorème de Pythagore, mais avec un protocole de construction différent. Je propose la construction moi-même, puis je leur demande la nature des figures qui apparaissent, et collectivement ils arrivent à le démontrer (cas d'égalité, somme des angles etc...).Une première remarque: ont-ils vu les cas d'égalité des triangles? Si oui, cela permet de justifier rigoureusement les "huit copies identiques". Dans la construction je construis un carré de côté b+c, les triangles rectangles apparaissent après, et il faut justifier que ce sont bien des copies de celui dont on dispose au départ.Deuxième remarque: Dans ta construction, CED est-il supposé dès le début être une copie? Dans ce cas comment être sûr que les points C et E permettent vraiment d'avoir la longueur CE voulue?Troisième remarque: Dans la deuxième figure, il faudrait préciser que J,L et M sont alignés, et éventuellement démontrer que O,L et K le sont aussi et que (Ok) et (JM) sont perpendiculaires. Cela dépend du niveau de rigueur que tu veux donner, mais cela me parait important de limiter au maximum la "lecture sur la figure".Question: Qu'attends-tu comme réponse pour la question 1(b)?Ces remarques sont toutes basées sur la même idée: si on donne trop de données, c'est que certaines se démontrent à partir d'autres. Ce n'est pas nécessairement un problème, sauf que l'on pourrait tomber sur une figure non constructible. Cela m'est déjà arrivé de le faire sans m'en rendre compte... bon les élèves non plus, mais ce n'est pas une raison. De plus, et cela est plus important à mes yeux, cela n'aide pas les élèves à comprendre ce qui a besoin d'être démontré puisqu'on saute nous même des étapes.Voici le protocole de construction que je donne aux élèves, en reprenant tes notations:
- On dispose d'abord d'un triangle rectangle donné, de longueurs a, b et c.
- On construit un carré de côté b+c.
- On place un point à distance b de chaque sommet (en tournant dans un sens).
- On trace ensuite les 4 triangles rectangles.
- Je leur demande ensuite la nature de la figure qui apparaît. (Quand ils me disent autre chose qu'un quadrilatère, je leur dis que c'est du baratin, puis ils insistent, et je leur dis qu'ils vont devoir me convaincre qu'ils ne baratinent pas)
- Ils commencent par démontrer que c'est un losange (cas d'égalité)
- Ils démontrent ensuite que c'est un carré (égalité des triangles et somme des angles).
Cette construction est symétrique ce qui évite certains problèmes de particularisation.Pour la deuxième figure, toujours en respectant tes notations:- On construit un carré de côté b+c.
- On place O et J sur les côtés à une distance b de P.
- On trace les perpendiculaires passant par ces points.
- On démontre que l'on obtient 2 carrés et deux rectangles.
- On trace [JK] et [OM].
- On démontre que l'on obtient 4 triangles identiques (cas d'égalité).
- On conclut en comparant les différentes aires.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
@Magnéthorax C’est un beau travail. Peut-être qu’en ajoutant en pointillés les bords non tracés du carré de côté a+b sur la 2e figure dès le début, on comprendrait mieux que le but est de justifier soigneusement que les parties non colorées du carré de côté a+b de la première figure est égale à la somme des deux parties non coloriées sur la 2e figure. Dans une logique de partage, j’ai fait une démonstration en vidéo du théorème avec une autre méthode. https://m.youtube.com/watch?v=jwqhgre2Nlw
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C'est un super travail et tu as tout détaillé,je me suis posée la question quant à Pythagore et sa preuve, je sais (et je pense) que tu n'as pas abordé la rotation et les translations avant ce devoir, as tu songé as utilisé les propriétés de ces transformation et les triangles égaux, pour raccourcir tout cela, ou alors as-tu décidé de ne pas en parler pour signifier que l'on peut comprendre une preuve de Pythagore sans transformation ? (je me suis confronté à ce dilemme et je verrai , si je peux ces transformations plus tard).
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Merci pour vos retours précis et pertinents. A leur lecture, j'ai précisé les prérequis dans le message original.
Je réponds dans l'ordre chronologique des interventions.
@bd2017 : je vais ajouter que l'on ne sait pas, a priori, que l'on a à faire à un quadrilatère pour mieux faire comprendre aux élèves la démarche suivie (une figure à main levée qui suggère que les points auraient pu ne pas être alignés sera plus parlante qu'une figure réalisée avec un logiciel). La complexité de la démarche n'est pas délibérée ! Je ne voyais pas comment contourner cette histoire d'alignement car, dans la simplification que tu proposes, je crois déceler un implicite important : "on a un losange de façon évidente". Comme nous n'avons pas vu les triangles égaux (j'avais oublié de le dire), cela ne relève pas de l'évidence. -
Bonjour@Magnéthorax Je suis tout à fait d'accord avec toi pour la figure à main levée si tu conserves ta démarche.Par contre j'ai un peu de mal à comprendre le problème avec les triangles égaux qui ferait que ce je propose ne peut pas fonctionner.En effet le triangle initial, nommons le ABC, il est rectangle en A et les les longueurs des côtés AB=c, AC=b et BC=a.Dans la construction que je propose les 4 triangles sont aussi rectangles et les deux côtés de leur angle droit ont les mêmes longueur que ceux du triangle initial. Ils sont donc une "copie" où le terme copie a le même sens que tu as utilisé.
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bd2017 a dit :Dans la construction que je propose les 4 triangles sont aussi rectangles et les deux côtés de leur angle droit ont les mêmes longueur que ceux du triangle initial. Ils sont donc une "copie" où le terme copie a le même sens que tu as utilisé.
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Bonjour,Voici une contre-rédaction de ton énoncé.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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@Soc : "Dans ta construction, CED est-il supposé dès le début être une copie?" : oui.
"Dans ce cas comment être sûr que les points C et E permettent vraiment d'avoir la longueur CE voulue?" : bonne question !
"Dans la deuxième figure, il faudrait préciser que J,L et M sont alignés, et éventuellement démontrer que O,L et K le sont aussi et que (Ok) et (JM) sont perpendiculaires." : tout ceci est bien supposé; il est vrai que je n'ai pas du tout réfléchi au fait qu'une des trois conditions puisse être déduite des deux autres; et ça, c'est mal venant d'un prof.
Plus je lis les interventions, plus les cas d'égalité des triangles me paraissent incontournables. C'était clairement un angle mort dans mon esprit, donc merci. -
Pour ma part je ne les avais jamais croisés dans mon parcours d'étude et les avais vu seulement du coin de l’œil ensuite. Je ne les ai regardé de plus près que quand ils ont été introduits dans les programmes il y a quelques années (c'est une des très rares modifications positives). Je me suis alors rendu compte que c'est ce qui m'avait toujours manqué dans mon appréhension de la géométrie, c'est à dire de la rigueur là où je n'étais pas convaincu (je n'ai jamais accroché aux transformations en mathématiques, que ce soit pour apprendre ou pour enseigner; je les trouve sur-utilisées beaucoup trop tôt et sous-utilisées après).Ce n'est qu'avec les triangles égaux que j'ai pu remettre en ordre les démonstrations du collège; en n'ayant plus besoin d'admettre grand chose. Comment justifier avec les transformations que la figure que je trace au tableau est la même que celle du cahier de l'élève? Avec les triangles égaux cela va tout seul.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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@Soc : d'ailleurs, cette notion permet d'obtenir une démonstration rapide de la réciproque du théorème de Pythagore, démonstration qui utilise le théorème de Pythagore. "Ma" démonstration de cette réciproque fait pas pas appel aux triangles égaux, mais elle est un peu plus longue.
@Thierry Poma : merci pour tes formulations.
Il doit bien exister un document à visée pédagogique qui montre les applications de cette notion. -
D'accord avec Soc pour dire que les triangles égaux (et leurs copains semblables) sont un des très rares points positifs du programme de collège en vigueur. Jusqu'à l'année dernière, c'était ma première leçon de géométrie de l'année en 4e. J'avais posté la planche d'exercices sur ce chapitre que je donnais aux élèves dans le message suivant : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2425706#Comment_2425706Je peux aussi poster mon cours si tu le souhaites.
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Bonjour à tous,
Je déterre ce fil (assez récent tout de même).J’ai lu en diagonale et je pense que l’on passe à côté de la démonstration…
Notamment je pense qu’il faut absolument
- faire découper les quatre triangles par les élèves
- faire coller les triangles avec les consignes d’alignement
Et plus c’est mal fait (mal découpé, mal collé…) alors plus on est obligé de faire des maths.On raisonne toujours mieux avec une figure approximative que sur une figure parfaitement tracée. Cerise sur le gâteau de ce qu’il ne faut pas faire (toujours d’après moi) pour cette activité : raisonner sur une figure avec quadrillage.Ensuite on recommence : découpage de quatre triangles superposables pour former la deuxième figure. Idem, raisonner.Enfin, sur le fond : inutile d’utiliser le cours sur les triangles égaux.La démonstration est :
SI les quatre triangles rectangles ont pour côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 (l’hypoténuse)
ALORS 𝑎² + 𝑏² = 𝑐² .
Car ici, on démarre par hypothèse avec quatre triangles égaux. Enfin, disons que c’est un choix… et je pense qu’il est primordial.Et puis, je pense que c’est à la toute fin où l’on annonce « en fait, avec les triangles égaux on démontre que dès qu’on a un triangle rectangle avec côtés de l’angle droit étant 𝑎 et 𝑏 alors l’hypoténuse est unique, etc. ». Mais ça c’est autre chose que Pythagore, oserais-je dire.Cordialement
Dom -
Bonjour à tous.Je trouve que c'est un travail épatant, même si améliorable (par les remarques de @dom par exemple). Le théorème de Pythagore, il en est question dans le Ménon de Platon(v. vérification de la réminiscence), vers 500 avant JC, où après un brillant exposé de Socrate, le jeune esclave continue à se tromper. La démonstration d'Euclide arrive 200 ans après le "miracle grec". La démonstration du théorème de Pythagore est donc un véritable monument de la pensée, pas forcément accessible au commun.Aussi, je crois qu'il faudrait éviter de parler de "démonstration" mais rester sur des termes tels que "explication", "justification"... largement suffisants.On peut faire de vraies démonstrations au collège mais je doute qu'on puisse véritablement prétendre démontrer le théorème de Pythagore. On n'est pas dans le même registre.Cordialement
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@Magnéthorax Je présume que tu as maintenant le retour d’expérience de cette activité en situation, que peux-tu nous en dire ?
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Je ne suis pas d’accord avec toi @Dom , non sur tes critiques que je comprends mais pour ton rejet des triangles égaux.
J’ai longtemps été un pro Erlangen inconscient avant de devenir un défenseur d’Euclide conscient à force d’enseigner
Il existe une très belle démonstration de Pythagore avec les triangle égaux.On la doit à Airy (Airy utilise des rotations mais on peut la retravailler ) Et Image des maths en a fait un chouette article.
Bien sûr il faut chercher un peu et cela prend du temps (je me
rappelle d’une longue discussion sur le temps nécessaire à la préparation des cours… et bien par exemple la lecture de ce forum prend du temps mais on y trouve des idées, par exemple ici j’en propose une comme l’initiateur du fil l’a fait).
Je l’ai même faite en inspection et avec un des ateliers de la Segpa on a fabriqué des mobiles.
La preuve de Platon est un cas particulier de duplication du carré pas une preuve de Pythagore au sens propre. J’en ai fait une pièce de théâtre que j’ai fait joué par mes élèves pendant 3 ans.(Dommage je n’ai pas le droit de la diffuser)
Si on veut faire de belles preuves au collège on peut. C’est vrai que c’est difficile car le nombre de professeurs qui le fait est si faible que les élèves ne sont pas habitués, donc il faut se battre un peu.Moins de serious gales et plus de preuves c’est un choix.
Le second problème c’est que si cela forme aux mathématiques ce n’est pas le chemin le plus rentable pour préformer sur un sujet de DNB. Là aussi c’est une question de choix: court terme ou long terme. -
Zut. Peut-être qu’il y a un malentendu.Je dis qu’en particulier pour ce que l’on veut faire dans cette démonstration là, il n’y a pas lieu d’évoquer les triangles égaux. Ce n’est pas nécessaire.Sinon, comme toi et Éric le disent, en général, c’est une bonne base de se servir des triangles égaux au collège (ça résout tout ou presque). Mais tu sais aussi que ça n’est pas grandement suivi pour diverses raisons (sociétales notamment au regard des zones défavorisées et de leurs conséquences, et sans axiomatique précise de toute manière si on veut faire des mathématiques rigoureuses) mais on risque de sortir de ce fil.Disons pour le dire vite que mathématiquement, c’est robuste (un peu marteau pour écraser une mouche d’ailleurs). Mais comme l’art de la démonstration s’en va chaque année un peu plus du collège (causes diverses), c’est de ce point de vue que c’est discutable de tenter une révolution au collège.
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@Dom: On peut choisir de le taire ou pas, mais on utilise bien les triangles égaux. C'est certainement plus simple pour la grande majorité de la classe, mais il est probable aussi que certains aient la sensation d'être baratinés, et ce sont ceux que l'on aimerait pousser vers les mathématiques plus tard. Je ne dis pas qu'il faut absolument être explicite tout le temps, mais plutôt que chaque choix a ses avantages et ses inconvénients.
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Bonjour, je m'interroge @Soc est-ce que tu as vraiment eu des élèves, ou des camarades quand tu étais élèves, qui t'on dit avoir la sensation d'être baratinés dans une démonstration d'un théorème ?Mon souvenir est plutôt que les démonstrations de théorème n'intéressaient pas grand monde, il faut apprendre un théorème car même si on sait le redémontrer, c'est nécessaire pour gagner du temps et on n'y penserait pas de toute façon. Même en prépa sélective, ce n'était pas le cas de mes camarades alors au collège, je pense que les élèves dont tu parles sont quasi inexistants, je dirais intuitivement en moyenne moins d'un élève par établissement. Ne le prends pas mal mais je me demande si tu ne projettes pas tes propres problématiques apparues adulte. Après si tu as envie de le faire car tu estimes cela plus rigoureux, fais-toi plaisir mais je pense qu'il ne faut pas s'illusionner.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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@Vassilia
je fais le même constat que toi. Mais ne pas s’intéresser aux démonstrations canoniques est un tort.
En effet les demonstrations fournissent les idées stratégiques de résolution de problèmes.
par exemple en géométrie euclidienne: chasse aux angles, triangle égaux ou rapport d’aire et de façon plus générale étude des configurations.
Si j’avais compris cela quand j’étais taupin j’aurais grandement amélioré mes résultats attendu que la plupart des questions permettant de faire la différence au concours ne SONT PAS l’application d’un théorème du cours, mais l’adaptation d’une stratégie permettant l’application ou la démonstration d’un théorème du cours.
On peut prétendre que cela est inné et que l’intuition ne se travaille pas ou on peut considérer que l’intuition est une résultante de la culture mathématique acquise.
Quand on démontre Pythagore au collège, on ne travaille pas Pythagore, on travaille les notions utilisées dans la démonstration, on améliore son intuition et sa capacité à raisonner. -
Je suis d'accord avec toi mais je trouvais personnellement plus "rentable" de travailler cette intuition à partir des exercices plutôt qu'à partir des démonstrations du cours.Par contre, il est vrai que les stratégies (ou astuces) ne s'inventent pas, enfin disons s'inventent difficilement, et encore moins dans le stress du concours. Il vaut mieux avoir en tête les stratégies habituelles, c'est d'ailleurs le seul reproche que je ferais à la prépa, à moins d'être vraiment hors norme (j'en ai connu), il faut apprendre des astuces qui fonctionnent bien sinon tu ne les sors pas dans le temps imparti. Et on parle d'élèves en prépa qui tentent des concours très demandés alors pour les collégiens et collégiennes, je reste sceptiqueLa philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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Soc, pas besoin de triangles égaux pour :
SI les quatre triangles rectangles ont pour côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 (l’hypoténuse)
ALORS 𝑎² + 𝑏² = 𝑐² .
Parfaitement en accord avec hx1_210 : « … on ne travaille pas Pythagore… ».Une remarque : quand j’étais en DEUG (L1), j’avais remarqué cela d’ailleurs : on nous exercice avec des choses difficiles. Mais quand on fait une démonstration d’un théorème, en général, ce que l’on va utiliser est un théorème et on l’utilise facilement.Ici, sommes des angles=180 reste tranquille. Ce n’est même pas une chasse aux angles où il faut de l’intuition. Puis on demande l’aire d’un rectangle (carré) et l’aire d’un triangle rectangle. Tout ce qui existe de plus banal. -
Vassillia a dit :Bonjour, je m'interroge @Soc est-ce que tu as vraiment eu des élèves, ou des camarades quand tu étais élèves, qui t'on dit avoir la sensation d'être baratinés dans une démonstration d'un théorème ?Pour ma part, cela m'est arrivé souvent. Sans doute un certain nombre de fois à tort, mais certainement un certain nombre à raison. Une fois la confiance perdue en l'enseignement que tu reçois, tu as vite fait de n'écouter que d'une oreille.Par ailleurs, j'ai eu quelques fois des élèves qui ont soulevé explicitement des lièvres. Je ne dis pas que c'est fréquent, mais derrière ces quelques élèves qui ont su expliciter le problème, il y a ceux, bien plus nombreux, qui se disent que quelque chose cloche sans savoir mettre le doigt dessus.Vassillia a dit :Mon souvenir est plutôt que les démonstrations de théorème n'intéressaient pas grand monde, il faut apprendre un théorème car même si on sait le redémontrer, c'est nécessaire pour gagner du temps et on n'y penserait pas de toute façon. Même en prépa sélective, ce n'était pas le cas de mes camarades alors au collège, je pense que les élèves dont tu parles sont quasi inexistants, je dirais intuitivement en moyenne moins d'un élève par établissement. Ne le prends pas mal mais je me demande si tu ne projettes pas tes propres problématiques apparues adulte. Après si tu as envie de le faire car tu estimes cela plus rigoureux, fais-toi plaisir mais je pense qu'il ne faut pas s'illusionner.* Cela intéresse plusieurs élèves par classe. J'ai la flemme de faire le décompte précis sur les classes que j'ai en face de moi cette année, mais à vue de nez au moins une vingtaine sur 4 classes.* Ces élèves sont précisément ceux dont on aimerait qu'ils fassent des maths plus tard, et plus ils en maitrisent les mécanismes tôt, plus ils pourront être performants plus tard.* Pour moi le but de l'enseignement de la géométrie est en premier lieu l'apprentissage de la rigueur du raisonnement. Comment transmettre cette rigueur si on la pratique de façon aléatoire? Comment être crédible dans nos exigence sin nous ne les respectons pas nous-même?* En particulier, la démonstration des théorèmes du cours est l'endroit où il faut être le plus rigoureux. Précisément parce qu'on ne leur demande pas de reproduire ces démonstrations, c'est plutôt une illustration de ce qu'est la construction mathématique quand on la fait proprement. Elle va servir à convaincre les élèves que même si la plupart du temps on s'autorise à être approximatif, on peut aussi faire les choses proprement.*Le fait d'être rigoriste sur ces démonstrations n'implique pas de l'être tout le temps. Ma façon de faire cours est de viser le ventre mou, très mou, mais je dois aux élèves plus ambitieux des moments où ils peuvent se nourrir un peu plus.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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@Dom: Admettons. Mais d'une part c'est un peu de l'arnaque, d'autre part tu t'arnaques toi-même en passant sous silence que tu utilises aussi les angles égaux, qui découlent des côtés égaux... par les cas d'égalité des triangles.Pour ce qui est des mécanismes des démonstrations, notre prof de spé passait volontairement plus de temps sur les démonstrations structurelles que sur les astuces de prépa en insistant sur le fait que ces mécanismes étaient plus importants à comprendre que les astuces qui ne fonctionnent que parce que l'exercice a été artificiellement calibré pour.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Moui, peut-être @Soc mais cela me parait vraiment beaucoup une vingtaine sur 4 classes. Je ne veux pas te contredire mais je me demande quand même quel pourcentage de ces élèves intéressées ne le sont pas vraiment par les démonstrations mais parce que tu dis toi, peu importe ce que tu dis si tu sais y faire (et je pense que c'est le cas).Je ne suis même pas sûre que tous les élèves en aient conscience. Il m'a fallu un certain temps pour comprendre que ce que j'aimais, c'était donner satisfaction au prof, ou plus généralement à telle ou telle personne que j'aime bien, pas le fond.De toute façon, j'imagine que tu as besoin d'y croire pour donner du sens aux efforts que tu fais dans ce sens. De mon coté je ne partage pas du tout ta vision de ce qui est intéressant en mathématiques donc je suis biaisée dans l'autre sens. J'imagine que c'est l’intérêt de rencontrer plusieurs profs différents dans une scolarité avec des visions différentes, les élèves pourront plus ou moins se projeter en fonction.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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Je suis on ne peut plus d'accord sur les bienfaits de rencontrer des enseignants qui fonctionnent différemment les uns des autres.
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Non. C’est le départ de l’exercice qui est comme ça.« Découper quatre triangles superposables ».Il n’est pas écrit « découper un triangle rectangle puis découper trois autres triangles rectangles avec les mêmes côtés de l’angle droit que le premier ».
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Dom a dit :Soc, pas besoin de triangles égaux pour :
SI les quatre triangles rectangles ont pour côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 (l’hypoténuse)
ALORS 𝑎² + 𝑏² = 𝑐² .Ce truc est faux si tu n'utilises pas les triangles égaux. Tu peux remplacer par "Si les 8 triangles superposables..." et là ne plus utiliser les triangles égaux (qui se retrouvent cachés dans l'existence de ces 8 triangles superposables).Quand j'introduis le théorème de Pythagore aux élèves, je leur dis que les triangles égaux font que quand on a déterminé un angle et ses deux côtés, le triangle est devenu indéformable et que toutes ses longueurs et tous ses angles sont figés. Il est donc normal de pouvoir les déterminer (sans que cela soit simple pour autant). Le théorème de Pythagore permet de le faire dans le cas particulier du triangle rectangle.Après dans la démonstration quand "on cale un triangle dans le coin du carré", on a choisi un angle et ses deux côtés, le reste ne nous appartient plus.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Bien sûr que les quatre autres sont superposables aux premiers. C’est tacite dans mon texte.En fait on peut prendre les quatre mêmes et refaire le puzzle mais découper à nouveau avec comme gabarit les premiers, ça me semble mieux.Du coup ta formulation est meilleure : 8 triangles superposables. Mais c’est l’idée que je défends depuis le début donc nous sommes d’accord.
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C'est effectivement possible, mais je trouve cela dommage.Quand je demande aux élèves de me convaincre que le quadrilatère est bien un losange, ils y parviennent (collectivement, pas individuellement) sans que je les guide. Pour replacer le contexte, c'est un mois après leur avoir parlé des triangles égaux, en ayant moi-même fait des démonstrations avec, mais sans les avoir fait manipuler autrement qu'à l'oral. Ils arrivent aussi seuls à me démontrer que ce quadrilatère est en fait un carré, sachant que je leur ai refait la démonstration de la somme des angles d'un triangle un mois avant, donc ils pensent à utiliser l'angle plat.L'ensemble de la démonstration tient avec de la marge dans une séance, mais sans doute faut-il un public un peu privilégié pour que ce soit le cas. Quand j'étais en ZEP les triangles égaux n'étaient pas au programme, donc j'utilisais aussi ce subterfuge en me disant que j'arnaquais les élèves sans identifier clairement pourquoi. Je ne sais pas quel choix je ferais si j'étais à nouveau face à ce public.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Vassillia a dit :1/ Je ne suis même pas sûre que tous les élèves en aient conscience. Il m'a fallu un certain temps pour comprendre que ce que j'aimais, c'était donner satisfaction au prof, ou plus généralement à telle ou telle personne que j'aime bien, pas le fond.2/ De toute façon, j'imagine que tu as besoin d'y croire pour donner du sens aux efforts que tu fais dans ce sens. De mon coté je ne partage pas du tout ta vision de ce qui est intéressant en mathématiques donc je suis biaisée dans l'autre sens.
3/ J'imagine que c'est l’intérêt de rencontrer plusieurs profs différents dans une scolarité avec des visions différentes, les élèves pourront plus ou moins se projeter en fonction.
pour ma part je n'ai jamais voulu satisfaire un prof, et ce quelle que soit la discipline mais le seul objectif que j'avais était de produire de la vérité (avec plus ou moins de bonne volonté suivant les disciplines !!)
et (mal)heureusement (pour certains) les mathématiques sont la discipline d'excellence pour cela, c'est donc là que je me suis le plus épanoui
2/ je comprends donc cette première phrase et je suppose que @soc a un tout autre objectif que le tiens : il n'a pas pour objectif de faire réussir ses élèves à un concours mais de faire réussir ses élèves, dans sa fonction d'instruction et d'élévation intellectuelle (ce que n'a pas pour objectif de prime abord une prépa à un concours) et je rejoins entièrement ses propos précédents : il s'attache à la réussite par la compréhension et l'appropriation de notion, ce qui passe par le raisonnement et la démonstration, et celle-ci doit être menée avec rigueur.
même avec mes élèves de Tle SPE math (dont certains très bons ... selon les canons actuels) je ne peux malheureusement que pleurer sur le fait de ne pouvoir faire certaines démonstrations ou même au lycée que l'on faisait en fin de collège à mon époque parce que la géométrie nous y apportait cet exercice (de la démonstration) ... que les élèves n'ont plus.
3/ je n'ai eu qu'un prof au lycée et jamais je ne le regretterai jamais ... mais il ne conviendrait très certainement plus à notre système actuel
PS : ce n'est pas une attaque mais juste un constat, et j'ai comme l'impression que tu possèdes comme une certaine aigreur de tes études, c'est bien dommage.
PPS : à mon époque du lycée (année 80) pas d'internet et autres réseaux sociaux destructeurs de la pensée mais une école qui nous faisait découvrir le monde par la connaissance.Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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@zygomathique Qu'il n'y ait pas de malentendu, j'étais "très scolaire" et particulièrement en maths. Je ne remercierai jamais assez ma prof de maths de terminale qui voulait absolument que j'aille dans une grande prépa, c'est ce qui fait que j'ai mon métier aujourd'hui. Je n'ai aucune aigreur de mes années d'étude, simplement, je n'ai jamais cru à l'élévation intellectuelle et je n'y crois toujours pas, l'élévation sociale en revanche, j'y crois un peu plus...Ceci dit pour aller dans ton sens, il y a l’objectif principal : faire réussir les élèves au concours et il y a des objectifs secondaires : former des esprits à analyser aussi correctement que possible le monde qui les entoure. Les maths sont en cela un formidable outil, je n'en connais pas de meilleur et je les aime pour ça. Je te rassure, j'essaye évidemment de leur faire comprendre. Même si la démonstration reste malheureusement nécessaire pour s'assurer qu'il n'y a pas d'erreurs cachées, les idées sous-jacentes, les élèves peuvent les avoir sans rigueur et quand on y arrive, c'est génial.Je pense que tout s'explique par la fin de ton message. Nous ne sommes pas de la même génération et donc nous n'avons pas les mêmes valeurs, ni mes parents ni la société ne m'ont éduqué comme toi. Je suis désolée pour toi que tu regrettes ton époque, c'est humain, si ça se trouve, je serais peut-être pareil dans 20 ans. Ton époque t'a construit mais la mienne m'a construite aussi, différemment, c'est tout.Bref, on s'éloigne du sujet, toutes mes excuses à la modération.
La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley) -
Ok. Mais il n’y a pas d’arnaque.L’intérêt est d’utiliser : aire des triangles rectangles, aire des rectangles, somme des angles = 180, losange+angle droit = carré et enfin plus difficile « aire 1 + aire 2 = aire 1 + aire 3 => aire 2 = aire 3 ».
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Je suis d'accord si on admet la superposabilité dès le départ. Je parle d'arnaque dans le sens où quand tu as un triangle, le fait de pouvoir le déplacer ce sont les transformations, ou alors en avoir une copie directement ailleurs, ce sont les triangles égaux. L'un ou l'autre est caché derrière ces triangles superposables admis, mais une fois admis, pas d'arnaque.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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