Oral X PC 2024 polynôme
Réponses
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OShine a dit :Pourquoi un nombre complexe non nul posséderait une racine $p$ ième ?
PS : exo : qu'est ce que ce résultat à avoir avec ta question ? -
ok je n'ai pas tout lu, et je n'ai pas tout pris en compte on est en effet passé de $\mathbb{C}[X]$ à $\mathbb{R}[X]$ dans la discussion, et l'évolution de contexte dans une discussion qui évolue en permanence est une compétence qui me dépasse, sans doute as-tu raison , potentiellement ai-je tort c'est sujet à interprétation, et en matière d'interprétation c'est dangereux d'être catégorique, et je m'arrête ici car je dis cela sans animosité et en effet le contexte perçu ou interprété sont des choses distinctes, et là dessus il faut tenir compte du contexte.
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Waw tres belle démonstration de force Oshine . PerfectLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Commence par le cas d'une puissance cubiqueLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Tu pourrais commencer par résoudre le problème très très proche suivant :Soit $a,b\in \N^*$ premiers entre eux. On suppose que $ab$ est le cube d'un entier. Montrer que $a$ et $b$ sont chacun le cube d'un entier.
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Pour être bien sûr de ce qui se passe désormais dans cette discussion, il s'agit désormais de savoir répondre répondre à la question suivante: soient A et B deux polynômes (premiers entre eux... au moins dans $\mathbb{C}[X]$ et non constants) de $\mathbb{C}[X]$ dont le produit se réalise comme un cube d'un élément de $\mathbb{C}[X]$, alors A et B sont des cubes d'éléments de $\mathbb{C}[X]$, avant d'y penser je veux savoir. (vu l'indication de @Jlapin la notion d'anneau factoriel est importante, enfin je crois). la même question dans $\mathbb{R}[X]$ admet-elle la même réponse ? mais c'est un problème différent, vu ta réponse @Oshine, vu que tu es conscient très clairement que $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ ne possèdent pas les mêmes irréductibles je me permets de savoir quelle est la question avant d'y réfléchir. (sinon je sais qu'a déjà été abordé sur le forum la question sur $\mathbb{Z}$ produit de deux élément premiers entre eux est un cube alors les deux éléments de départ sont des cubes.... juste pour être sûr.
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JLapin a dit :Tu pourrais commencer par résoudre le problème très très proche suivant :Soit $a,b\in \N^*$ premiers entre eux. On suppose que $ab$ est le cube d'un entier. Montrer que $a$ et $b$ sont chacun le cube d'un entier.
Décomposons $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
On a : $a=p_1 ^{a_1} \cdots p_r ^{a_r}$
Et : $b=q_1 ^{b_1} \cdots q_r ^{b_s}$
$a$ et $b$ sont premiers entre eux donc les $p_i$ et les $q_i$ sont distincts.
Soit $p$ un nombre premier.
On a $\boxed{v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)=3 v_p(n)}$.
Si $p_i$ est un facteur premier de $a$, il n'est pas un facteur premier de $b$, donc $v_p(b)=0$, ce qui donne $v_p(a)= 3 v_p(n)$.
Le raisonnement est identique pour $b$.
Ce qui permet de conclure immédiatement.
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OShine a dit :La racine carrée de $-2$ n'existe pas.OShine a dit :troisqua a dit :$-2$ possède deux racines carrées complexes. Programme de terminale. Pourquoi vouloir s'attaquer à des maths de type "agrégation interne" quand on en est à ton niveau ?Soit $z$ un complexe non nul. $z=re^{it}$ pour un certain $r>0$ et $t$ réel. Alors $r^{1/p}e^{it/p}$ est une racine $p$ ème de $z$.
J'avais oublié ce résultat élémentaire de sup.Tu as surtout et d'abord oublié $i^2=-1$. Au bout de 10 minutes de cours sur les complexes en terminale, on sait que $(\sqrt{2}i)^2=-2$
Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$ -
Quel bonheur ! plsryef et Jlapin nous ont rejoints. Tu es entre de bonnes mains, Oshine, et je vais me mettre en mode spectateur.
Mais avant, je réponds à ceci.
plsryef a dit : Pour être bien sûr de ce qui se passe désormais dans cette discussion, ..., je me permets de demander quelle est la question avant d'y réfléchir.
Dans ℝ[X], il y a deux versions, et restons dans le cadre cubique pour le moment.
Version 1 : Soient A et B deux polynômes à coefficients réels n'ayant pas de racines réelles communes. Si leur produit est un cube, c'est-à-dire AB = C³ avec C dans ℝ[X], est-ce que A et B sont aussi des cubes ? Version 2 : Soient A et B deux polynômes à coefficients réels n'ayant en commun ni racine réelle ni racine complexe. Si leur produit est un cube, c'est-à-dire AB = C³ avec C dans ℝ[X], est-ce que A et B sont aussi des cubes ?
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@gebrane
Je crois que j'ai donné la réponse dans mon dernier message d'hier soir.
C'est toujours l'idée de JLT.
Si $X^2+aX+b$ est un facteur irréductible de $A$, il n'est pas facteur irréductible de $B$ et on conclut facilement.
Si $n$ est impair, l'énoncé de l'exercice est vrai.
Si $n$ est pair c'est faux grâce a l'exemple de gai requin qui se généralise aisément.
Si $n=2p$ on pose $A=-X^{2p}$ et $B=-(X+1)^{2p}$.
La fonction $x \ mapsto x^n$ est bijective de $\R$ dans $\R$ que si $ n $ est impair. -
Oshine
Si n est impair, l'énoncé de l'exercice est faux avec la version 1, trouve un contreLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Pour la version 1
Prendre A(X)=X^3 (X²+1) et B(X)=(X-1)^3 (X²+1)²
Le produit est un cube mais A n'est pas un cube car d°A=5 n 'est pas un multiple de 3
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
$A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux, ils sont divisibles par $X^2+1$.
Je laisse ce message, je cherchais des polynômes premiers entre eux alors qu'il suffisait de prendre des polynômes qui ont des racines distinctes.
Il y équivalence uniquement dans le corps des complexes.
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J'ai bien précisé les deux versions afin d'éliminer toute ambiguïté.
Tu ne lis pas !
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Oui j'ai lu trop vite.
Du coup on comprend pourquoi l'exercice est donné dans le corps des complexes et pas celui des réels.
C'est intéressant. -
Oui, tu as tout à fait raison. Pour les esprits fragiles, on pose cette question dans $\mathbb{C}[X]$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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C'est quand même niveau X-ENS mais c'est le genre de question supplémentaire qu'on peut poser à un oral.
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Je te rassure, les étudiants qui disent que l'équation $x^2=-2$ n'a pas de racine dans $\mathbb{C}$ ne passent pas le concours d'entrée à l'X ou à l'ENS. Ils ne sont donc pas concernés par l'oral de l'X, ni par les questions supplémentaires qu'on pourrait poser à cet oral.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Oshine, si tu réussis le concours avec un bon classement et qu'on te propose d'enseigner dans une classe préparatoire, l'accepterais-tu ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Du coup tu pourrais prendre beaucoup de tes élèves pour des profs particuliers gratuits comme tu le fais ici sur ce forum, ça peut être malin.
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Merci pour la réponseLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Tu te rends compte, dans la question posée par Gebrane, que tu n'aurais pas un dixième du niveau de certains de tes futurs élèves ?
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Possible.
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Certain.
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Prépa, classe préparatoire, c'est avant le CE1, c'est bien de ça dont on parle ? Et surtout pas de CPGE ?
Si oui, je pense qu'OShine pourrait être un bon prof en prépa, plus à sa place qu'en collège.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
Bonjour!
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