Stricte croissance sur une partie dense
Salut,
Il y a un petit exercice que je pensais simple mais qui me bloque.
Soit $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ continue. Montrer que pour que $f$ soit strictement croissante, il suffit qu'il existe une partie $D$ dense dans $\mathbb R$ telle que la restriction $f_{|D}$ soit strictement croissante.
Voilà ce que j'ai essayé :
On suppose donc qu'il existe $D$ dense dans $\mathbb R$ telle que $f_{|D}$ soit strictement croissante.
Si $f$ n'est pas strictement croissante, il existe $(x,y)\in\mathbb R^2$ tel que $x<y$ et $f(x)\geqslant f(y)$.
Par densité de $D$, on peut construire deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $D$ telles que :
Donc par continuité de $f$, par passage à la limite, on obtient $f(x)\leqslant f(y)$.
Donc $l:=f(x)=f(y)$.
J'ai du mal à obtenir formellement une contradiction, j'imagine qu'à un moment on va trouver grâce aux convergences un entier $N$ tel que $f(x_N)\geqslant f(y_N)$... J'ai pourtant essayé d'exprimer le fait que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ tendent vers $l$...
Il y a un petit exercice que je pensais simple mais qui me bloque.
Soit $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ continue. Montrer que pour que $f$ soit strictement croissante, il suffit qu'il existe une partie $D$ dense dans $\mathbb R$ telle que la restriction $f_{|D}$ soit strictement croissante.
Voilà ce que j'ai essayé :
On suppose donc qu'il existe $D$ dense dans $\mathbb R$ telle que $f_{|D}$ soit strictement croissante.
Si $f$ n'est pas strictement croissante, il existe $(x,y)\in\mathbb R^2$ tel que $x<y$ et $f(x)\geqslant f(y)$.
Par densité de $D$, on peut construire deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $D$ telles que :
- $(x_n)$ est strictement croissante et converge vers $x$ ;
- $(y_n)$ est à valeurs dans $]x,y[$, strictement croissante et convergente vers $y$.
Donc par continuité de $f$, par passage à la limite, on obtient $f(x)\leqslant f(y)$.
Donc $l:=f(x)=f(y)$.
J'ai du mal à obtenir formellement une contradiction, j'imagine qu'à un moment on va trouver grâce aux convergences un entier $N$ tel que $f(x_N)\geqslant f(y_N)$... J'ai pourtant essayé d'exprimer le fait que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ tendent vers $l$...
Réponses
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Si pour deux reels x,y tu as x<y, tu peux mettre dedans deux elements de D et avoir x<a<b<y et je pense tu es capable de deduire $$f(x)\leq f(a)<f(b)\leq f(y)$$ et tu dois conclure avec caLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Tu devrais avoir besoin de $\varepsilon_0$, $\varepsilon_1$,$\varepsilon_2$ tels que $\varepsilon_1$ + $\varepsilon_2< \varepsilon_0$ et $f(b) > f(a) + \varepsilon_0$
N'utilise pas de suites, tu vas rester coincé sur le 'strictement' avec des suites.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Pas de raison d'utiliser le sens direct. Tu fais à peu près comme dit gebrane: x<a<b<y. Pour la suite f(x) proche de f(a) et f(y) proche de f(b) suffit pour conclure (sans avoir besoin de l'ordre précis proposé par gebrane).
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
On peut procéder en deux temps:1°) $f$ est croissante.
En effet, sinon, il existe $a,b\in \R$ tels que $a \leq b$ et $f(b) > f(a)$. On ne peut alors avoir $a=b$ et donc $b = a$. Soit $\alpha \in \left ] 0; \frac{b-a} 2 \right [$ tel que pour tout $c\in \{a,b\}$ et tout $t \in ]c-\alpha, c +\alpha[$ on a $|f(t)-f(c)|< \left | \frac{f(b) - f(a)}{2} \right |$. Soient $x \in ]a - \alpha, a + \alpha [ \cap D$ et $y \in ]b - \alpha, b + \alpha[ \cap D$. Alors $x < a + \frac {b-a} 2 = \frac {b+ a} 2 = b - \frac{b-a} 2 < y$ et donc $f(x) < f(y)$ mais aussi $|f(a) - f(x)|< \frac {|f(b)-f(a)|} 2$, $|f(b) -f( x)|< \frac {|f(b)-f(a)|} 2$ et enfin $f(b) < f(a)$ ce qui est impossible.2°) on en conclut que $f$ est strictement croissante.Pour cela, soient $v,w\in \R$ tels que $v <w$ et soient $x\in \left ]v, \frac{v+w} 2; \right [ \cap D$ et $x\in \left ]\frac{v+w} 2; w\right [ \cap D$. Alors $f(v) \leq f(x) < f(y) \leq f (w)$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci pour vos messages, je regarde.
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Tu regardes et tu nous fait une rédaction de ton exercice, c'est un ordreLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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1/ Par densité on construit dans $D$ une suite croissante $y_n$ qui tend vers $y$ et une suite décroissante $x_n$ qui tend vers $x$.2/ Par continuité la suite $f(y_n) - f(x_n)$ tend vers $l=f(y) - f(x)$3/ Par croissance stricte de $f$ sur $D$ cette suite est croissante et strictement positive donc $l>0$.Edité après la remarque de gerard0.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Bonsoir Soc.Dans le 2 et le 3, "cette suite" désigne la suite $f(y_n)-f(x_n)$, n'est-ce pas ?Cordialement.
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oui : ) modifié, merci.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
En notant $T=\left\{ \left(x;y\right)\in\mathbb{R}^{2}|x<y\implies f\left(x\right)\leqslant f\left(y\right)\right\} $, par continuité de $f$, $T$ est fermé dans $\mathbb{R}^{2}$ et contient $D^{2}$ qui est dense dans $\mathbb{R}^{2}$ donc $T=\mathbb{R}^{2}$. Donc $f$ croissante sur $\mathbb{R}$. Maintenant, si on prend $x<y$ alors, par densité de $D$ il existe $d$ et $d'$ dans $D$ tels que $x<d<d'<y$ donc par croissance de $f$ sur $\mathbb{R}$ et stricte croissance sur $D$ : $f\left(x\right)\leqslant f\left(d\right)<f\left(d'\right)\leqslant f\left(y\right)$.
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gebrane a dit :Si pour deux reels x,y tu as x<y, tu peux mettre dedans deux elements de D et avoir x<a<b<y et je pense tu es capable de deduire $$f(x)\leq f(a)<f(b)\leq f(y)$$ et tu dois conclure avec ca
$D$ décroissante vers $y$, alors $x_n\leq x<a<b\leq y_n$ d'où $f(x_n)<f(a)<f(b)\leq f(y_n)$ et à la mimite $f(x)\leq f(a)<f(b)\leq f(y)$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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