Oral X PC 2024 polynôme
Réponses
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Bonjour,tu peux par exemple raisonner par récurrence sur le degré $n=2k$, $k \geq 1$, de $AB$ et considérer une racine $\lambda\in \mathbb{C}$ de $AB$.Bonnes fêtes !
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Merci, bonnes fêtes à vous aussi.
C'est bon pour l'exercice mais je ne comprends pas bien comment mettre en place une récurrence ici.
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Il y a un problème dans ta démonstration : les multiplicités ne valent pas nécessairement 2 à la fin ; il faut montrer qu'elles sont paires.
Tu dois introduire les multiplicités dés le départ quand tu décomposes le polynôme $C$. -
Plus simple Tu as noté C²=A.B
1) Tu démontres que les racines de C² sont d'ordre pair
2) Tu démontres si a est une racine de A d'ordre p alors a est aussi une racine d'ordre p de C²
3) conclureLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
MrJ a dit :Il y a un problème dans ta démonstration : les multiplicités ne valent pas nécessairement 2 à la fin ; il faut montrer qu'elles sont paires.
Tu dois introduire les multiplicités dés le départ quand tu décomposes le polynôme $C$.
Il y a unicité des coefficients d'un polynôme.
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Tu peux recommencer au moment où tu écris les factorisations de $A$ et $B$. Actuellement, ce que tu écris implique que les racines de $A$ et de $B$ sont des entiers entre $1$ et $n$.
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Pour la question 2, il m'a fallu un peu plus de temps.
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Tes notations avec $n_n$ et $m_m$ sont moches, et il y a incohérence entre les $m_k$ pour $A$ et les $m_k$ pour $C$.On peut écrire : $A=a\prod_{k\in I} (X-\alpha_k)^{m_k}$, $B=b\prod_{k\in I} (X-\alpha_k)^{n_k}$, $C=c\prod_{k\in I} (X-\alpha_k)^{p_k}$ avec $\alpha_k$ distincts, et $m_k,n_k,p_k\in\N$. Par identification,$ab=c^2$ et $m_k+n_k=2p_k$.
Si $m_k\ne 0$ alors $n_k=0$ donc $m_k=2p_k$ est pair.
Si $m_k=0$ alors $m_k$ est pair. On en déduit que $A$ est un carré.
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J'aime les raisonnements simples que je partage avec toi Oshine!
1) Si a une racine de C², alors a est une racine de C ( disons d'ordre p) d'où $C(X)=(X-a)^p Q_1(X)$ avec $Q_1(a)\neq 0$ d'où $C^2 (X)=(X-a)^{2p} Q_2(X)$ avec $Q_2(a)\neq 0$ (Ici $Q_2(X)=Q_1(X)^2$, donc a est une racine de C² d'ordre pair
2) si a est une racine d'ordre p de A alors $A(X)=(X-a)^p Q_1(X)$ avec $Q_1(a)\neq 0$ d'où
$C^2(X)=(X-a)^p Q_2(X)$ avec $Q_2(a)\neq 0$ (Ici $Q_2(X)=Q_1(X) B(X)$, donc a est une racine d'ordre p de C²Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Dans l'indication de JLT :
Soit $n$ le nombre de racines distinctes de $C$
Soit $I = \{1,2,...n \}$ les entiers de $1$ à $n$
Soit $\{a_k , k\in I \}$ l'ensemble des racines de $C$, certaines racines étant éventuellement des racines multiples...
La remarque de MrJ au tout début que tu n'avais pas comprise : c'est le même problème de racines distinctes / racines multiples. Si $C$ a des racines multiples, quand tu écris $C = c \Pi (x-\lambda_i)$ , ce n'est pas complètement faux, mais tu considère qu'on peut avoir $\lambda_i=\lambda_j$ avec $i \neq j$ , et tu ne le dis pas explicitement.
Pour le correcteur, tu as zappé le fait que $C$ pouvait avoir des racines multiples.
Surtout que tu oublies cette précision, alors que par ailleurs, tu ne te prives pas pour écrire tous les trucs qui te passent par la tête, même si c'est inutile.
L'argument $A \wedge B = 1$ par exemple, il n'apporte strictement rien. Donc il est en trop et il faut l'enlever.
Tu poses tous les trucs que tu sais sur ton papier, et tu demandes au lecteur de sélectionner ceux qui sont utiles pour faire la démonstration. C'est le lecteur qui fait la démo, pas toi.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@lourrran
Comment peux-tu savoir qui est $I$ alors qu'il n'est pas défini par JLT ?
Je préfère attendre d'avoir l'information de sa part.
Sinon je viens de comprendre pour les relations sur les multiplicités, ce qui est appelé identification, cela provient de l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles sur $\C[X]$.
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Ce n'est pas de ma part qu'il faut une confirmation, c'est avec ta tête que tu dois déterminer si ma démonstration est correcte avec la précision donnée par lourrran.
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La question 3° est évidente , je commence
Si les racines de A sont d'ordre impair , d'après 2) les racines de C² sont aussi d'ordre impair ce qui contredit 1); donc les racines sont d'ordre pair,
après tu dois conclure ton exercice , c'est un ordre !Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Bingo. Si maintenant on remplace C[X] par R[X] y a_t _il problème ou nonLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Question intéressante.
Dans $\R[X]$, un polynôme non constant n'a pas forcément de racine.
J'aurais bien pris $A=B=X^2+1$ ainsi $AB$ est un carré.
Montrons que $A$ n'est pas un carré.
Par l'absurde, si $A$ était un carré, on aurait l'existence d'un polynôme $U \in \R[X]$ tel que $X^2+1=U^2$.
Par des considérations de degré, on aurait $U(X)=X+a$ avec $a$ réel.
Mais alors $X^2+1=X^2+2aX+a^2$.
Par unicité des coefficients d'un polynôme, on aboutit à $a^2=1$ et $a=0$, ce qui est absurde.
Donc $A$ n'est pas un carré et la propriété est fausse dans le corps des réels.
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Est-il vrai que si $A,B\in\R[X]$ sont deux polynômes premiers entre eux tels que $AB=C^2$ où $C\in\R[X]$ alors $A$ et $B$ sont des carrés dans $\R[X]$ ?
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Ah oui il faut faire attention.
Dans $\C[X]$ deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont pas de racine commune.
Ce résultat est faux dans $\R[X]$.
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Imaginons un étudiant qui rédige sa réponse, tout bien. (je suis toujours sur l'exercice du 1er message)
Il n'emploie jamais l'expression 'corps algébriquement clos'.
Est-ce qu'il peut avoir la note maximale ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
JLT a dit :Est-il vrai que si $A,B\in\R[X]$ sont deux polynômes premiers entre eux tels que $AB=C^2$ où $C\in\R[X]$ alors $A$ et $B$ sont des carrés dans $\R[X]$ ?
Je suis en phase de recherche, je cherche deux polynômes à coefficients réels premiers entre eux dont le produit est un carré.
Je ne trouve pas immédiatement.
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$A=-1$, $B=-4$.
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@gai requin
J'ai tout cherché sauf l'évidence avec les polynômes constants. Tu es malin !
Merci.
Et si $A$ et $B$ sont non constants ? -
$A=-X^2$, $B=-(X+1)^2$.
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gai requin a dit :$A=-X^2$, $B=-(X+1)^2$.
Il ne me reste plus qu'à montrer que ça fonctionne. -
On peut citer le théorème de d'Alembert-Gauss qui est utilisé dans cet exercice.
Et une conséquence de ce théorème qui permet de dire que tout polynôme est scindé sur $\C[X]$. -
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$A$ et $B$ sont à valeurs négatives donc ne sont pas des carrés.
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En effet, c'est bien plus rapide
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Ah, tu as réussi ma question, bravo ! Et puisque Gairequin nous a rejoints, c'est la fête.Maintenant, tu remplaces "est un carré" par "est un cube" et tu traites les deux cas dans \( \mathbb{C} \) ou \( \mathbb{R} \). Mais si tu as la foi, tu remplaces "est un carré" par "est une puissance \( p \)" (un polynôme \( A \) est une puissance \( p \) si \( A = U^p \) ajout avec $U$ un polynôme).Est-ce que cela vous convient ? 😊Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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lourrran a dit :Imaginons un étudiant qui rédige sa réponse, tout bien. (je suis toujours sur l'exercice du 1er message)
Il n'emploie jamais l'expression 'corps algébriquement clos'.
Est-ce qu'il peut avoir la note maximale ?
Ou si l'étudiant dit que les irréductibles de $\C[X]$ sont exactement les polynômes de degré 1. Car finalement, c'est cela qui est important je pense. Parler valuation p adique (paire ou impaire) allège d'ailleurs la rédaction il me semble.
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gebrane a dit :Ah, tu as réussi ma question, bravo ! Et puisque Gairequin nous a rejoints, c'est la fête.Maintenant, tu remplaces "est un carré" par "est un cube" et tu traites les deux cas dans \( \mathbb{C} \) ou \( \mathbb{R} \). Mais si tu as la foi, tu remplaces "est un carré" par "est une puissance \( p \)" (un polynôme \( A \) est une puissance \( p \) si \( A = U^p \) ajout avec $U$ un polynôme).Est-ce que cela vous convient ? 😊
Pour le contre-exemple sur $\R$, l'astuce de gai requin ne fonctionne plus ici.
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Si par exemple $A$ n'est pas une puissance $n$ d'un polynôme alors, comme il est non constant, il existe $P$ irréductible dans $\mathbb{C}\left[X\right]$ tel que $v_{P}\left(A\right)$ (valuation $P$ adique de $A$) est non nulle, non multiple de $n$. Mais alors $v_{P}\left(B\right)=0$ (car sinon $P$ divise $A$ et $B$ donc $A,B$ ont une racine commune). Donc $v_{P}\left(AB\right)=v_{P}\left(A\right)+v_{P}\left(B\right)=v_{P}\left(A\right)$ est non nulle non multiple de $n$, donc $AB$ n'est pas une puissance $n$ d'un polynôme.
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Il me semble que la valuation p-adique de polynôme est hors-programme des classes préparatoires et de l'agrégation interne.
Je maîtrise les validations p-adique d'entiers mais je n'ai jamais entendu parler de valuation p-adique de polynôme.
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Bof, la décomposition en produits de facteurs irréductibles est au programme et la valuation p adique c'est juste le nom donné à la puissance sur chaque facteur irréductible. Donc modulo une phrase de définition, c'est dans le programme.Par exemple, à l'agrégation interne, si tu fais un cours sur la décomposition en produits d'irréductibles dans un anneau factoriel, tu ne comptes pas dire comment on appelle les puissances qui interviennent sur chaque facteur irréductible ?
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Oshine Tu peux utiliser mon 1) et 2)
Je te montre le comment dans le cas $\C[X]$ : supposons $AB=C^n$
1) Si a une racine de de $C^n$, alors l'ordre de a est un multiple de $n$
2) Si a est une racine d'ordre $p$ de A alors $a$ est une racine d'ordre $p$ de $C^n$
Tu deduis que les racines de A ( aussi B ) sont multiples de $n$ et donc A est une puissance de $n$ ( aussi B )Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@troisqua
D'accord merci. Je ne ferai pas un cours sur les anneaux factoriels, je n'ai jamais étudié cette notion.
Je connais uniquement la notion d'anneau principal et encore c'est lointain (vu dans le Liret). Je ne l'utilise jamais dans les exos niveau prépa ou agreg interne, donc j'ai oublié.
Mais la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans $\R[X]$ et $\C[X]$ est incontournable dans le programme des classes prépas. Je revu le cours entier sur les polynômes de sup récemment.
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@OShine : tu le fais exprès ?Admettons que la notion d'anneau factoriel ne soit pas au programme de l'interne (m'enfin ça fait mauvais genre de l'ignorer à mon avis). Mais de toute façon tu connais bien la décomposition en irréductibles dans $\C[X]$ non ? Bon, donc comment appelles-tu les puissances figurant sur les irréductibles ? C'est ça la notion essentielle dans l'exo que tu résous. Bref....
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$-2$ possède deux racines carrées complexes. Programme de terminale. Pourquoi vouloir s'attaquer à des maths de type "agrégation interne" quand on en est à ton niveau ?Soit $z$ un complexe non nul. $z=re^{it}$ pour un certain $r>0$ et $t$ réel. Alors $r^{1/p}e^{it/p}$ est une racine $p$ ème de $z$.
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troisqua a dit :$-2$ possède deux racines carrées complexes. Programme de terminale. Pourquoi vouloir s'attaquer à des maths de type "agrégation interne" quand on en est à ton niveau ?Soit $z$ un complexe non nul. $z=re^{it}$ pour un certain $r>0$ et $t$ réel. Alors $r^{1/p}e^{it/p}$ est une racine $p$ ème de $z$.
J'avais oublié ce résultat élémentaire de sup.
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Avec la méthode JLT.
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Ok si on se place dans $\mathbb{C}$, @troisqua mais pourquoi objecter une erreur à une question mal posée, car la question c'est posséder une racine carré dans machin ou machine ou machin et machine sont des corps différents, je te trouve excessif, car à la question $-2$ possède une racine dans $\mathbb{R}$ ? et que @Oshine réponde non, il aurait raison.
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Bonjour!
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