Dérivée énième de $e^{1/x}$

dans Analyse
Bonjour,
Quelqu'un connaît-il une façon astucieuse de calculer la dérivée énième de cette fonction ?
Je dispose déjà d'une solution, que je trouve un peu lourde.
Cordialement,
Quelqu'un connaît-il une façon astucieuse de calculer la dérivée énième de cette fonction ?
Je dispose déjà d'une solution, que je trouve un peu lourde.
Cordialement,
L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé.
Réponses
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La reponse elle-même n'est-elle pas un peu lourde ?
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Une facon moins lourde, tu demandes à wolfram puis tu démontres par récurrence la formule suggérée par wolfram $$(-1)^n e^{1/x} \cdot \sum _{k=0}^{n-1} k! \binom{n}{k} \binom{n-1}{k} x^{-2 n+k}$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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DSE $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{-k}}{k!}$ à dériver $n$ fois ? Sinon, formule de Faa di Bruno !
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Un exercice qu'il m'est arrivé de donner en colle :Soient $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $k\in\mathbb{N}$. On note $L(n,k)$ le nombre de Lah (I. Lah, $1896$ -- $1979$) défini par
\begin{equation*}
L(n,k)=
\begin{cases}
\binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(n-k)!&\text{si $1\leqslant k\leqslant n$,}\\
0&\text{si $k=0$ ou si $k>n$.}
\end{cases}
\end{equation*}1) Montrer que
\begin{equation*}
L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)
\end{equation*}
pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ et tout $k\in\mathbb{N}$.2) Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^{*}$ et tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on a
\begin{equation*}
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathopen{(}e^{1/x}\mathclose{)}
=\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}e^{1/x}\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x^{-n-k}.
\end{equation*}
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Bonjour Ericpasloggue Tu peux ajouter à ton devoir, démontrer la formule dans le message de gebraneLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Partant de $x^2y' + y = 0$ avec $y = e^{1/x}$, on prouve facilement la relation
$x^2y^{(n+1)} + (2nx+1)y^{(n)} + n(n - 1)y^{(n - 1)} = 0$.L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé. -
Mon exercice est en fait directement construit à partir de l'article que tu cites.
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De la relation de récurrence précédente, on tire une relation de récurrence entre polynômes
$P_{n+1}(x) - (2nx+1)P_n(x) + n(n - 1)x^2P_{n-1}(x) = 0$, où $y^{(n)} = (-1)^nP_n(x)y/x^{2n}$.
Le terme constant de $P_n$ est forcément 1.
Comment trouver, avec le minimum d'efforts, les autres coefficients ?
L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé. -
Bonjour Ericpasloggue il semble que tu n'as pas compris le but de mon message, je voulais dire tu integres dans ta planche la question suivante démontrer que
$$\forall n\geq 1, \frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathopen{(}e^{1/x}\mathclose{)} =\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}e^{1/x}\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(n-k)!x^{-n-k}\\=(-1)^n e^{1/x} \cdot \sum _{k=0}^{n-1} k! \binom{n}{k} \binom{n-1}{k} x^{-2 n+k}$$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
J'avais bien compris ta remarque. Il faut que je vois ce que j'en fais.
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Allons, allons, MC qui ne comprend rien !Deux formules, c'est toujours bien.L'une éclaire, l'autre soutient,Bien sûr, elles sont égales, c'est certain.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Plusieurs réponses intéressantes dans https://math.stackexchange.com/questions/18284/nth-derivative-of-e1-x
Juste pour savoir, quelles sont les applications de la dérivée n-ème de $e^{1/x}$ ?
Dans Comtet, Advanced Combinatorics exercice 7 page 158 il est question de la dérivée n-ème de $f(x^{\alpha})$
avec $f$ de classe $C^{\infty}$, $\alpha$ un réel. -
On pourrait fabriquer un joli problème à partir des solutions citées ici ou dans l'article de stackexchange.
L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé. -
$ e^{-1/x}$ sont utilisés pour les partitions de l’unité dans les variétés différentiables voir page 6
http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/G%E9o%20diff/3%20-%20Partitions.pdf
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Le tome II du Ramis 1972 donne, dans les exercices du chapitre Dérivation, une méthode classique pour calculer les dérivées énièmes de $e^{1/x}, e^{x^2}, \tan^{-1} x$.L'alcool tue lentement ; et c'est très bien, car on n'est pas pressé.
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On trouve aussi ce calcul dans : Félix Tisserand, Recueil complémentaire d'exercices sur le calcul infinitésimal, Gauthier-Villars 1877, p. 20.
https://archive.org/details/recueilcomplme00tissuoft/page/n5/mode/2up
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