dualité dans un sous-groupe discret

Bonsoir, 

J'aimerais savoir si quelqu'un aurait un lien sur le critère de Kronecker qui dit que le dual de tout sous groupe dense de E ev de dim finie est trivial svp.

Merci

Réponses

  • Je vais reformuler  je parle du résultat suivant : Étant donné $G$ un sous groupe d'un espace euclidien $(E, \langle,\rangle)$, notons son dual ou associé :  $G^{°} = \{ y \in E , \forall x \in G :   \langle x,y\rangle \in \mathbb{Z}\}$. 

    Le résultat de Kronecker stipule que : $G$ est dense dans $E$ ssi $G^{°} = \{0\}$
  • Je n'ai pas de lien. L'implication gauche-droite est facile : supposons $G$ dense et soit $y\in G^{°}$. La forme linéaire $\phi_y:E\to \R, v\mapsto \langle y,v\rangle$ étant continue, $\phi_y^{-1}(\Z)$ est fermé et contient $G$ donc $\phi_y^{-1}(\Z)=\overline{G}=E$, ce qui implique $\phi_y=0$ et donc $y=0$. Ici on n'utilise même pas la structure de groupe de $G$.

    La difficulté c'est pour la réciproque. On peut déjà dire que :

    1) Si $E=\R$ alors le résultat découle du fait que les sous-groupes de $\R$ sont soit denses soit engendrés par un élément.
    2) Si $G^{°} = \{0\}$ alors $G$ engendre $E$, en effet sinon on pourrait trouver une forme linéaire continue non nulle qui s'annule sur $Vect(G)$ (si $E$ est de dim infinie par Hahn-Banach).
    3) Si $G^{°} = \{0\}$, soit $g_1,...,g_n\in G$ une base de $E$ (dim finie) et $p_k:E\to Vect(g_k)$ la projection sur $Vect(g_k)$, $k\in [\![1,n]\!]$, alors $p_k(G)$ est un sous-groupe dense de $Vect(g_k)$.

    je me suis arrêté ici...
  • JLapin
    Modifié (December 2024)
    Je crois qu'il y a des trucs intéressants ici.

    Ta question manque fortement de contexte : niveau d'étude ? Où as-tu croisé cette question ? Qui te laisse penser qu'il s'agit d'un résultat de Kronecker ? As-tu essayé de démontrer le résultat que tu énonces ?


  • Merci à vous deux pour vos réponses. Le lien que tu m'envoies comporte l'implication difficile à la question 10.a donc je te remercie.
    Et @raoul.S il est normal que tu n'arrivais pas à aboutir, il s'agissait d'utiliser la description des sous-groupes fermés établie dans les parties précédentes à $\overline{G}$.

    Le contexte est un sujet "fait maison" c'est à dire un sujet qui étudie une notion (ici les sous-groupes discrets) pour l'étudier et non pas un sujet de concours. Le niveau est L2/L3 je dirais. C'est l'aparté du professeur qui parle de Kronecker (cf bas du document).


  • En tout cas merci à vous deux, sujet intéressant, je prends les documents.
  • canasson29
    Modifié (December 2024)
    Je profite de ce post pour une référence sur un résultat de décomposition des sous groupes additifs de $\mathbb{R}^n.$
    Du genre partie dense, partie discrète. En gros, dans mes souvenirs, si $G$ est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}^n,$
    il existe deux s.e.v. $F$ et $H$ en somme directe tels que $G \cap F$ est dense dans $F$ et $G \cap H$ est discret. Possiblement avec $G= G\cap F \oplus G\cap H$ ?
    Il me semble que $F$ est unique. Merci d'avance.

  • Zebilamouche
    Modifié (December 2024)
    Oui c'est ça, en fait $F$ est unique et est l'ensemble des droites vectorielles de $\mathbb{R^n}$ contenues dans $\mathbb{\overline{G}}$ (qui est bien un espace vectoriel tu peux le vérifier).
  • T es pas d accord ?
  • canasson29
    Modifié (December 2024)
    Bonsoir,
    si si. Je suis d'accord avec cette formulation. Je pensais à la disjonction de cas : $x \in \bar{G}$ tel que $\bar{G} \cap \mathbb{R}\,x= \mathbb{R}\,x$ et $x \in \bar{G}$ tel qu'il existe $y \in \bar{G}$ vérifiant $\bar{G} \cap \mathbb{R}\,x = \mathbb{Z}\,y.$ Et la recherche d'un supplémentaire à $F.$ Peut-être $H = F^{\perp}$ ? Comment montrer que $\bar{G} \cap H$ est alors un sous-groupe discret dans $H$ ? J'ai déjà vu passer cela il y a longtemps de cela dans un livre, mais je ne me rappelle plus lequel.
  • Zebilamouche
    Modifié (December 2024)
    Je ne comprends pas ton premier propos, voudrais-tu déterminer $F$ ? Je peux te donner une ébauche de preuve pour la décomposition. On supposera $G$ fermé.
    En fait la clé c'est que la "partie vectorielle" $F$  dans $G$ est la partie non-discrète de $G$. Il s'agit donc de supposer $G$ non discret d'une part.

    $\quad$ Alors  $0$ n'est pas isolé donc on dispose d'une suite $(x_n)_n$ d'éléments non-nuls convergeant vers $0$.
    En considérant une valeur d'adhérence de $\big(\dfrac{x_n}{\lVert \ x_n \rVert}\big)_n$ on montre que $G$ contient une droite vectorielle (considérer $\lfloor\dfrac{1}{\lVert \ x_n \rVert} \rfloor $).

    $\quad$ $V_{G}$ la réunion des droites vectorielles contenues dans $G$ est un espace vectoriel. Montrer que c'est le plus grand au sens de l'inclusion contenu dans $G$. On conviendra que $V_{G}= \{0\}$ si $G$ est discret 

    $\quad$ Soit $S$ supplémentaire de $V_{G}$ dans $\mathbb{R^n}$  , on montre facilement que $G = V_{G} + S\cap G$. De plus, il est facile de montrer que $S\cap G$ est un sous-groupe de $\mathbb{R^n}$ dans lequel $0$ est isolé (sinon $V_{G}$ contiendrait une autre droite vectorielle).
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