Tous pour un

denise chemla
Modifié (December 2024) dans Algèbre
Bonjour,
Je viens vous demander de l'aide ici par rapport à des exercices de programmation concernant l'article Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée de Riemann (voir ici https://fr.wikisource.org/wiki/Sur_le_nombre_de_nombres_premiers_inf%C3%A9rieurs_%C3%A0_une_taille_donn%C3%A9e_(Riemann,_trad._Laugel)
Il y a plusieurs choses (sic !) qui m'intriguent. 
D'abord, il y avait une phrase qui disait quelque chose comme on peut réarranger les termes de la somme définissant $\zeta$ en mettant les différents termes dans lesquels interviennent les zéros non triviaux de $\zeta$ en exposants un peu dans tous les sens pour obtenir la valeur qu'on souhaite et par rapport à cela, j'ai peut-être trouvé la réponse dans une note de cours trouvée sur la toile et qui s'appelle "Théorème de réarrangement de Riemann".
La deuxième chose est la phrase que je mets en exergue dans une image : "Si l'on désigne par $\alpha$ toute racine de $\xi(\alpha)=0$, on peut exprimer ${\rm log}\;(\xi(t))$ par $\Sigma \;{\rm log}\left(1-\displaystyle\frac{t^2}{\alpha^2}\right)+{\rm log}(\xi(0))$.
Pensez-vous que cela pourrait vouloir dire qu'on peut trouver le résultat d'une (composition de) fonction(s) (en l'occurrence le log du $\xi(t)$) appliquée à l'un des zéros en calculant la valeur d'une autre fonction appliquée à tous les autres zéros que lui (pour 0, on prend la même fonction que pour lui ; pour les autres zéros, autre chose, fonction de lui ($t$) ? 
J'ai voulu tester par programme. Je joins le programme, son résultat : je n'ai pu traiter qu'une liste de 599 zéros, à partir du 600-ième, ça sort en math domain error. 
Il n'y a pas égalité entre les deux résultats comme de bien entendu mais par contre, il y a des $\pi$ qui apparaissent de ci de là.
Si quelqu'un peut me dire ce qu'il ou elle en pense et/ou me fournir les résultats avec un logiciel autre, j'en serais ravie.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla

Réponses

  • Area 51
    Modifié (December 2024)
    Je n'ouvre jamais les pièces jointes (car très mauvais client pour les clickbaits). Cela dit, il n'y a que peu de différence entre les fonctions $\xi$ et $\zeta$. D'ailleurs, $\dfrac{\xi(s)}{\zeta(s)}$ est toute gentille, avec 2 zéros en $\{ 0,1 \}$ et quelques soucis aux entiers négatifs pairs. Sinon, ton truc avec la somme des $\log$ en les zéros non triviaux me fait penser à Jensen en analyse complexe.
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