Réconcilier deux points de vue

stfj
stfj
Modifié (August 2024) dans Géométrie
Bonjour,
Je n'ai pas honte de dire que j'ai appris la Géométrie élémentaire dans Algèbre linéaire et Géométrie élémentaire[AlGe] de Jean Dieudonné. Je préparais le CAPES quand j'ai découvert ce livre qui m'a immédiatement fasciné, tant il expliquait les liens étroits, les imbrications incassables entre l'Algèbre linéaire à laquelle j'avais été initié en propédeutique, et la Géométrie élémentaire découverte dès douze/treize ans. On y insiste sur l'importance des transformations en Géométrie.
Récemment, j'ai découvert grâce à de nombreux membres de les-mathématiques.net,  d'autres outils puissants tels que le calcul barycentrique, et des outils de géométrie projective. Jean Dieudonné ne néglige pas complètement la géométrie projective dans [AlGe]. Il consacre ainsi plusieurs de ses problèmes, au birapport; et introduit le cadre projectif réel dans ses annexes. Il y a d'ailleurs de nombreuses analogies entre ce qu'il écrit et un livre tel que Géométrie algébrique3 d'Alfred Doneddu, destiné aux classes de Spéciales au début des années 70, où plusieurs chapitres sont consacrés à la géométrie projective.
Faire le lien entre tous ces outils est certainement facile pour beaucoup d'entre vous. Mais pour un débutant comme moi, ça ne l'est pas.
Des choses aussi bêtes que définir "un triangle" dans un plan projectif, "un milieu", "une similitude"... s'apparentent vite à des chausse-trape, auxquels nous sommes tous habitués en mathématiques mais qui ne sont jamais très agréables.
Pourtant plusieurs d'entre vous m'invitent à utiliser des transformations, ou réfléchir davantage aux barycentres, ou à définir une symétrie...
Je propose donc d'ouvrir cette discussion pour bénéficier de votre expérience sur les difficultés que vous avez pu rencontrer vous-mêmes(en partant d'exemples mathématiques très concrèts pour ne pas réactiver la guerre Géométrie synthétique versus Géométrie analytique du 19è siècle) avant de les surmonter pour réconcilier ces deux points de vue.
Cordialement.

Réponses

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour Stéphane, (ou re-bonjour !),
    Très bonne initiative que d'ouvrir cette discussion ! J'espère qu'elle contribuera à apaiser certains débats ...
    Pour ma part, je vais la suivre avec intérêt, bien que je ne puisse y apporter que de très maigres et très éventuelles contributions ...
    Bien amicalement, Jean-Louis B. 

     

  • stfj
    stfj
    Modifié (August 2024)
    Merci Jean-Louis de tes encouragements. Amicalement, Stéphane.
    J'ai réfléchi à propos d'une récente discussion sur le cadre : on prend $A,B, C$ trois points d'un espace affine euclidien. On utilise alors les notations de Conway. Soit $\alpha$ le plan passant par $A,B$ et $C$. On considère l'enveloppe vectorielle $\widehat{\alpha}$ de $\alpha$, puis le plan projectif $\mathrm P(\widehat{\alpha})$, qui consitue "le plan complété de la géométrie". Dans le dual, $(\mathbb R A^*,\mathbb R  B^*,\mathbb R C^*, \mathcal L_{\infty}\doteq\mathbb R (A^*+B^*+C^*))$ constituent un repère projectif. Dans lequel par exemple la symétrie $s_{BC}=s_{/a}$ sera associéé à l'homographie mise en évidence dans le post.
    Une des difficultés pour réconcilier les deux points de vue est que cela nécessite donc pas mal de notions, alors que d'aucuns pourront parler légitimement à ce propos de scolastique peu utile.
  • stfj
    stfj
    La notion de polaire me paraît être une illustration des difficultés. Avec des connaissances presque élémentaires d'Algèbre linéaire qu'on m'a enseignées quand j'avais 18 ans en classe de mathématiques supérieures, il est facile de définir la polaire d'une forme quadratique  non dégénérée sur un espace de dimension finie. Or, l'enseigner à des potaches à l'ancienne, s'avère bien plus difficile puisqu'on introduit traditionnellement le birapport de 4 points puis la conjuguaison harmonique puis la polaire.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Rebonjour Stéphane,
    Je viens de lire ton message initial, resté sans réponse, dans la discussion en lien ci-dessus. 
    Pour moi, qui n'ai suivi aucun enseignement d'algèbre linéaire de ce niveau, c'est vraiment l'équivalent de l'écriture indienne devanagari ! 
    Et en effet, comme tu le dis dans ton message précédent, "pour réconcilier les deux points de vue", il faut pouvoir faire le pont entre les deux, et donc bien connaître l'un et l'autre, et savoir retrouver dans l'un toutes les notions utilisées dans l'autre ou leurs équivalents, et réciproquement ... Et comme, personnellement, je dois reconnaître que je ne connais bien ni l'un ni l'autre ...
    En toute amitié, Jean-Louis
  • stfj
    stfj
    Bonjour Jean-Louis
    Amicalement.
  • pappus
    pappus
    Bonjour stfj
    La guerre est terminée depuis longtemps entre les partisans de la géométrie synthétique et ceux de la géométrie analytique.
    Ce qui est sûr en tout cas, c'est qu'on ne peut être un bon géomètre en oubliant l'un ou l'autre de ces deux points de vue!
    La géométrie est avant tout l'étude des groupes de transformations, ce qui n'est pas le cas sur ce forum où on se contente d'aligner les points, d'enfiler les droites ou d'exulter quand le point qu'on a trouvé figure dans ETC.
    C'est pourquoi la géométrie est si tristounette sur ce forum!
    Amicalement
    pappus
  • stfj
    stfj
    Il vaudrait mieux exulter en effet quand le point qu'on a trouvé NE FIGURE PAS dans ETC. :)
  • jelobreuil
    jelobreuil
    @pappus Bonjour, cher Pappus,
    Excuse-moi, mais là, j'ai l'impression de te prendre en flagrant délit de sectarisme associationniste ... J'en conviens, tout "bon géomètre" devrait, idéalement, pouvoir se mouvoir aussi aisément dans l'un et l'autre de ces deux aspects de la géométrie, ce qui est loin d'être mon cas, dans l'un comme dans l'autre d'ailleurs ...
    Mais surtout, ce qui me fait réagir dans ton message, c'est cette réduction, constante de ta part, de la géométrie à "l'étude des groupes de transformations" ... Pour le fort médiocre géomètre que je suis, c'est vraiment trop abstrait ! Trop éloigné du concret des figures géométriques que je m'échine à étudier (tout en y prenant un plaisir certain !) avec mes pauvres moyens de géométrie synthétique ou, à la rigueur, analytique en coordonnées cartésiennes ...
    Est-il donc interdit, ou ridicule, d'aborder la géométrie sous un autre angle ou de la considérer autrement ?
    Bien amicalement, Jean-Louis B.

     

  • pappus
    pappus
    Mon cher Jean-Louis
    Je trouve au contraire que les transformations géométriques, translations, rotation, homothéties... sont souvent rencontrées dans la vie courante.
    Il n'y a vraiment pas besoin de savoir grand chose pour lire le Lebossé-Hémery avec qui tu pourrais faire de gros progrès en géométrie et rencontrer très élémentairement des nouveaux concepts qui ne s'expliquent vraiment plus tard que  par des théories beaucoup plus abstraites comme l'algèbre linéaire.
    Amitiés 
    pappus
  • stfj
    stfj
    Modifié (August 2024)
    Bonjour,
    La construction des tangentes menées par un point $\color{red}P$ à une conique $\color{blue}\mathscr C$ est une construction intéressante. Je sais la justifier en  géométrie projective sans faire appel au birapport. https://www.geogebra.org/classic/cekubghh
    Cordialement.

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Je n'ai d'ailleurs toujours pas eu de réponse à ma question;
    Comment calculer le birapport de $4$ points $A_1,A_2,A_3,A_4$ donnés par leurs coordonnées barycentriques par rapport à un triangle $ABC$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    stfj
    Bonjour,
    As-tu, @Rescassol, un exemple particulier en tête ? Par exemple, $A_1$ milieu de $BC$, $A_2$...$$A_1\simeq 0:1:1$$
    Cordialement.
    __________________________________
    Sinon, j'ai une animation on peut faire varier un point $A$ pour faire varier la forme de la conique de centre $O$. Un point $G$ pour faire varier une droite. On obtient alors son pole $P$. Pour moi qui découvre, c'est très fun. J'espère que cela pourra intéresser d'autres.https://www.geogebra.org/classic/kq2dn4fs

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Non, je n'ai pas d'exemple, je voudrais une formule valable pour $A_1,A_2,A_3,A_4$ quelconques.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    stfj
    Pourquoi veux -tu une telle formule ?
    Peut-être transformer $A_i$ en complexes et utiliser $[a_1,,,]=\frac{-}{-}$
  • stfj
    stfj
    Modifié (August 2024)
    Je viens de découvrir polaire(droite, conique) sur geogebra, ce qui rend mon animation de peu d'intérêt. :)
  • pappus
    pappus
    Mon cher Rescassol
    Une suggestion: projeter les quatre points à partir du sommet $A$ sur la droite $BC$.
    Amicalement
    pappus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Quel type de projection, Pappus ?
    Si ce sont les $A$-céviennes des points $A_i$, on perd de l'information.
    Je voudrais pouvoir ensuite tester si $Birapport(A_1,A_2,A_3,A_4)=-1$, par exemple, pour des points cocycliques.

    Cordialement,
    Rescassol

  • pappus
    pappus
    Bonjour Rescassol
    Je pensais que tu parlais du birapport de quatre points alignés dans le plan projectif.
    Visiblement ce n'est pas le cas.
    Parlerais-tu du birapport de quatre points dans le plan euclidien complété par un point à l'infini?
    Amitiés
    pappus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    > Parlerais-tu du birapport de quatre points dans le plan euclidien complété par un point à l'infini?

    Oui, c'est bien ça.

    Cordialement,
    Rescassol


  • pappus
    pappus
    Mon cher Rescassol
    As-tu regardé dans le Glossaire comment passer de l'affixe d'un point à ses coordonnées barycentriques et réciproquement?
    Ce devrait être fait?
    En tout cas le résultat final de ce calcul de birapport devrait a priori être monstrueux et sans beaucoup d'intérêt.
    Amitiés
    pappus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Je vais voir dans le glossaire.
    Le résultat est peut-être monstrueux, sauf on si peut l'expimer à l'aide de quelques judicieux déterminants.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    stfj
    En 1986, Pierre Samuel revenait sur cet apparent divorce entre l'Enseignement français et la Géométrie de la fin des années 30 qu'il avait reçu :
    Cela après avoir rappelé les limites de cette "géométrie pure" :
  • pldx1
    pldx1
    pappus a dit: As-tu regardé dans le Glossaire comment passer de l'affixe d'un point à ses coordonnées barycentriques et réciproquement? Le résultat final de ce calcul de birapport devrait a priori être monstrueux et sans beaucoup d'intérêt.
    Les a priori de @pappus sont ce qu'ils sont et lui appartiennent. On part de $P,Q,R,S$ qui sont des trucs que l'on peut traiter vectoriellement.  Et alors


    Utiliser la commande $\rm{solve}$ pour résoudre une équation, ah que voilà un monstre effrayant !!!
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    stfj a dit :
    Il vaudrait mieux exulter en effet quand le point qu'on a trouvé NE FIGURE PAS dans ETC. :)
    😂😂😂😂
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    pappus a dit :
    Mon cher Rescassol
    As-tu regardé dans le Glossaire comment passer de l'affixe d'un point à ses coordonnées barycentriques et réciproquement?
    Ce devrait être fait?
    En tout cas le résultat final de ce calcul de birapport devrait a priori être monstrueux et sans beaucoup d'intérêt.
    Amitiés
    pappus
    Remarque pertinente..suivie d'un troll im-pertinent :D>:)  (pappus a pappussempéché hahaha)
    C'est quoi le Glossaire (c'est relatif à ETC ?)
  • canasson29
    canasson29
    Modifié (November 2024)
    Le glossaire doit être l'annuaire des géomètres. C'est comme le bottin, il n'est plus édité :), la technologie ayant pris le dessus sur le papier.
  • Vassillia
    Vassillia
    Modifié (November 2024)
    Bonjour,
    Oui, c'est relatif à ETC quand on va sur sur ce site, on trouve un onglet Glossary qui recommande la lecture de Translation of the Kimberling's Glossary into barycentrics écrit par un certain membre de ce forum.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Modifié (November 2024)
    Bonsoir à tous,
    Je me permets de signaler que ce "Glossary" est cité en référence dans les deux articles joints, travaux de Grozdev et coll., qui devraient, du moins je le pense, intéresser certaine et certains ... Et ce n'est qu'un échantillon !!
    J'en ai enregistré quelques autres de la même veine. Si cela vous dit que je vous les communique, dites-le moi ...
    Vous pouvez aussi faire une recherche sur Internet avec les mots-clés Grozdev, Okumura, Dekov
    Bien amicalement Jean-Louis B.



  • Vassillia
    Vassillia
    Merci jelobreuil
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (November 2024)
    Bonsoir,

    Oui, Pierre, mais c'est le mot "collinear" qui me gêne.
    Je voudrais $4$ objets $P,Q,R,S$ (points ou droites) quelconques et non forcément collinéaires.

    Cordialement,
    Rescassol

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Rescassol a dit :
    > Parlerais-tu du birapport de quatre points dans le plan euclidien complété par un point à l'infini?
    Oui, c'est bien ça.
    Autrement dit, quatre points d'une DROITE projective complexe.
    Le birapport de quatre points ça se passe toujours sur une droite projective (ou sur une conique, qui est en fait une droite projective).
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Bon, concrètement, si j'ai $4$ points quelconques $P,Q,R,S$ du plan euclidien (complété par un point à l'infini) donnés par leurs coordonnées barycentriques par rapport  à un triangle $ABC$, comment alors calculer leur birapport ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce birapport ne dépend pas seulement des coordonnées barycentriques des quatre points, mais aussi des affixes de $A,B,C$.
    Par exemple si les coordonnées barycentriques sont $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(-1,1,1)$, le birapport est réel si $ABC$ est rectangle en $A$, pas réel si $ABC$ est équilatéral.
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (November 2024)
    Bonjour,

    Alors, comment retrouver le résultat disant que $P,Q,R,S$ sont alignés ou cocycliques si leur birapport est réel ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    En utilisant le fait que les homographies agissent transitivement sur les cercles-et-droites et préservent le birapport.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    En fait, la seule chose qui compte est la classe de similitude du triangle $ABC$. On peut se ramener aux affixes $0,;1,\gamma$ pour $A,B,C$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    J'ai ça, mais c'est un peu lourd (ici, $a,b,c$ sont les affixes de $A,B,C$):
    syms a b c 
syms u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u4 v4 w4 real

f(u,v,w)=(a*u+b*v+c*w)/(u+v+w);
Bi(p,q,r,s)=((s-q)/(s-p))/((r-q)/(r-p));
   
B=Factor(Bi(f(u1,v1,w1),f(u2,v2,w2),f(u3,v3,w3),f(u4,v4,w4)))
    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Effectivement:
    syms m n

Bi2(p,q,r,s)=Bi(m*p+n,m*q+n,m*r+n,m*s+n);
B2=Factor(Bi2(f(u1,v1,w1),f(u2,v2,w2),f(u3,v3,w3),f(u4,v4,w4)))
% On constate que B=B2
    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    stfj
    Modifié (December 2024)
    Il y a une sacrée difficulté que traduit l'étude éventuelle d'un bref aperçu de la géométrie projective de Benoît Kloechner. L'équivalence entre les deux définitions : x est conjugué de x'<=> f(x,x')=0 <=> (a,b,x,x')=-1 où xx'$\cap $ f={a,b} n'est démontrée qu'à la toute fin de l'exposé (en 4.4.1), avec en outre ce début de préface
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