Inégalité de Ptolémée

On ne voit pas l'inégalité en question j'ai l'impression...

Ca ressemble à une sorte d'inégalité triangulaire pour le tétraèdre, a-t-on que trois paires de réels positifs $p_0,p_1,p_2$ sont telles qu'il existe un tetraèdre dont les paires de mesures des côtés opposés sont $p_0$, $p_1$ et $p_2$ si et seulement si $P_0,P_1,P_2$ vérifient l'inégalité triangulaire ? avec $P_i=\Pi p_i$, pour tout $i\in 3$. Si oui, peut-être qu'il y a une généralisation à tout simplexe...

C'est marrant que si on enlève les valeurs absolues ça donne une égalité! (c'est ça que tu veux dire quand tu dis "égalité d'OP",?je n'arrive pas à voir de quoi O et P  sont les initiales, ou alors c'est pour "OPération"?)
 Malheureusement ce n'est plus vrai avec les quaternions mais il y a peut-être moyen de s'inspirer de ça pour montrer le résultat pour un tétraèdre non plat.. si toutefois c'est vrai. (on peut prendre partie réelle nulle, car de toute façon quel que soit l'espace ambiant, on peut se plonger dans l'espace affine (réel associé) engendré par les quatre points (donc on reste en dim3) 

Il semble qu'effectivement ça se généralise à n'importe quelle dimension. J'aimerais bien savoir à quoi ressemble une classe d'équivalence de tétraèdre, où $A_1A_2A_3A_4$ et $B_1B_2B_3B_4$ sont équivalents si pour toute permutation $p\in S_4$, on a $A_{p(1)}A_{p(2)}-A_{p(3)}A_{p(4)}=B_{p(1)}B_{p(2)}-B_{p(3)}B_{p(4)}$. On peut associer à cette classe un unique triangle. Obtient-on tous les triangles ? (ça ferait de l'inégalité de Ptolémée une condition nécessaire et suffisante pour six longueurs d'être les longueurs des côtés d'un tétraèdre !) On peut déjà se poser les mêmes questions pour un tétraèdre plat, c'est-à-dire un quadrilatère.

Kolossale finesse !...