De l'importance du nombre d'or en mathématiques
dans Arithmétique
Le nombre d'or $\varphi$ est souvent présenté comme une curiosité mathématiques. On parle de la spirale d'or ou du rectangle d'or, de sa présence dans les arts et l'architecture. Mais le nombre d'or a-t-il une importance théorique particulière en mathématiques, au même titre que d'autres constantes comme $\pi$ ou $e$ ? $\varphi$ a par exemple, un joli développement en fractions continues c'est vrai, mais au delà de ça ?
Ce topic a pour but de lister des formules, des relations, ou des théorèmes où le nombre $ \varphi $ intervient et où il admet une importance théorique remarqubale.
Je commence avec une "intrication entre $\pi$ et $\varphi$" représentée par ces deux séries où interviennent également les coefficients binomiaux centraux, l'une s'exprime avec $\pi$ et la seconde "alternée", s'exprime à l'aide du nombre d'or
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n} } = \frac{\pi^2}{18} $$
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 \binom{2n}{n} } = 2 \ln ( \varphi )^2 $$
Ce topic a pour but de lister des formules, des relations, ou des théorèmes où le nombre $ \varphi $ intervient et où il admet une importance théorique remarqubale.
Je commence avec une "intrication entre $\pi$ et $\varphi$" représentée par ces deux séries où interviennent également les coefficients binomiaux centraux, l'une s'exprime avec $\pi$ et la seconde "alternée", s'exprime à l'aide du nombre d'or
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n} } = \frac{\pi^2}{18} $$
$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 \binom{2n}{n} } = 2 \ln ( \varphi )^2 $$
Réponses
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Bonjour, Sait-on calculer $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^2\binom{2n}{n}}$$ pour $x\in [-1,1]$
Ajout Je sais seulement dans le cas positif plus précisément
Si $x\in [0,4]$; $ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^2\binom{2n}{n}}=2\text{arcsin}\left( \frac{\sqrt x}2 \right)^2 $Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Mathématiquement $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est un nombre assez simple construit avec les entiers 1, 2 et 5. L’unité et les 1er et 3e nombres premiers. La nature semble apprécier ses propriétés.
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Je joue en bourse et les niveaux de Fibonacci sont très importants. Bien entendu impossible de le démontrer. Je rattache ceci aux prophéties auto-réalisatrices = ça marche parce que tout le monde y croit !
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Je ne suis pas certain que le nombre d'or soit important dans le domaine mathématique. Son importance relève plutôt des sciences de la nature.
Il possède deux caractéristiques :
- c'est le rapport du tout à la partie lorsque celui-ci est égal au rapport de la partie au reste (= proportion dorée)
- c'est le rapport du côté du pentagone étoilé régulier au côté du pentagone régulier convexe (de même cercle circonscrit)Cela mène à la même équation du second degré.De cela découle sa présence dans la nature lorsqu'il y a croissance avec conservation de la forme (c’est le cas aussi des spirales logarithmiques et des fractales). Cela en fait "le nombre de l'éternel retour".Le mystique Kepler a écrit : « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. »
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@gebrane : Je pense sans trop me mouiller, que \[\forall x\in [-4,0], \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2 \binom{2n}{n}} = 2\text{argsh}\left(\frac{\sqrt{-x}}{2}\right)^2=2\ln^2\left(\frac{\sqrt{-x}+\sqrt{4-x}}{2}\right)\]En tout cas, cela collerait avec la valeur en $-1$ donnée par @Calembour.
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Un fil qui date de trois ans en parlait : Série infinie pour lnϕ
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Merci @bisam pour la formule. Je ne la connaissais pas.
En attendant la création d’un fil à leur sujet par une personne intéressée., Je garde ces deux formules en lieu sûr
\[\forall x\in [-4,0], \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2 \binom{2n}{n}} = 2\text{argsh}\left(\frac{\sqrt{-x}}{2}\right)^2=2\ln^2\left(\frac{\sqrt{-x}+\sqrt{4-x}}{2}\right)\]$$\forall x\in [0,4], \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^2\binom{2n}{n}}=2\text{arcsin}\left( \frac{\sqrt x}2 \right)^2 $$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Merci pour vos contributions sur ces séries, en cherchant un peu, j'ai trouvé pas mal de propriétés intéressantes du nombre d'or que je liste ici :
Propriété 1 :
$\varphi$ et son conjugué $\bar{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ sont les seules solutions dans $\mathbb{R}$ à l'équation $\Gamma(z-1) = \Gamma(z+1)$ où $\Gamma$ représente la fonction gamma d'Euler
Propriété 2 :
$$ \varphi = \frac{1}{2} + \frac{11}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{5^{3n+1} (n!)^2} $$
Propriété 3 :
$$ \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{F(3)} + \frac{1}{F(6)} - \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{F(3 . 2^k)} $$
Où $F(n)$ est le $n$-ième nombre de Fibonacci
Propriété 4 :
$$ \varphi = \frac{3}{2} + \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \frac{C_k}{2^{4k + 3}} $$
Où $C_k$ désigne les nombres de Catalan
Propriété 5 :
$$ \varphi = \sqrt{ \frac{5 + \sqrt{5} }{2} } - \frac{ e^{- \frac{2 \pi}{5} } }{1 + \frac{ e^{ - 2 \pi} }{ 1 + \frac{e^{- 4 \pi}}{ 1 + ...} } } $$
Propriété 6 "Formule BPP" :
$$ \pi^2=50\sum_{k=0}^\infty{1 \above 1.5pt \phi^{5k}}\Bigg({\phi^{-2}\above 1.5pt (5k+1)^2 } -{\phi^{-1}\above 1.5pt (5k+2)^2 }- {\phi^{-2}\above 1.5pt (5k+3)^2 }+ {\phi^{-5}\above 1.5pt (5k+4)^2 } +{2\phi^{-5}\above 1.5pt (5k+5)^2 } \Bigg) $$
Cordialement
Calembour -
Je pense qu'il manque un rappel essentiel : $\varphi$ est solution de l'équation $x-1 = \frac {1}{x}$
Cette équation qu'on peut aussi écrire $x^2-x-1=0$ est quasiment l'équation du 2nd degré la plus simple qu'on puisse imaginer, avec 3 coefficients tous les 3 non nuls. Et c'est certainement cette simplicité qui fait qu'on va retrouver $\varphi$ à différentes reprises.
Et si on parle de propriétés un peu plus compliquées, et de suite de Fibonacci, autre propriété très simple : $\varphi$ est la limite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@gebrane : tu dois pouvoir retrouver toi-même la série $\sum \frac{x^n}{n^2\binom{2n}n}$ pour $x<0$ en modifiant très légèrement la technique que tu as utilisées pour $x>0$, en écrivant que pour $x<0$ on a $x^n=(-1)^n\sqrt{-x}^{2n}$.
@Calembour : il y a dans Le fabuleux destin de $\sqrt2$ de Benoît Rittaud une compétition entre $\sqrt2$ et $\phi$ pour savoir lequel des deux est « le plus irrationnel », c'est-à-dire le moins bien approché par des rationnels. Le combat est rude (mais j'ai oublié l'essentiel) : les quotients partiels de $\phi$ sont les plus petits possibles mais $\sqrt2$ gagne la compétition de la discrépance-$*$, je crois. On peut donc caractériser le nombre d'or (du moins sa partie fractionnaire...) parmi tous les irrationnels (chercher « golden ratio » dans cette page de Wikipédia).
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Oui, mais c'est pas grave puisque $\sqrt 2$ n'est pas un nombre(1).
(1) d'après d'Alembert en 1751 ( il aurait pu dire la même chose pour $\varphi$)Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Intéressant ces histoires d'irrationnalitéMath Coss a dit :@gebrane : tu dois pouvoir retrouver toi-même la série $\sum \frac{x^n}{n^2\binom{2n}n}$ pour $x<0$ en modifiant très légèrement la technique que tu as utilisées pour $x>0$, en écrivant que pour $x<0$ on a $x^n=(-1)^n\sqrt{-x}^{2n}$.
@Calembour : il y a dans Le fabuleux destin de $\sqrt2$ de Benoît Rittaud une compétition entre $\sqrt2$ et $\phi$ pour savoir lequel des deux est « le plus irrationnel », c'est-à-dire le moins bien approché par des rationnels. Le combat est rude (mais j'ai oublié l'essentiel) : les quotients partiels de $\phi$ sont les plus petits possibles mais $\sqrt2$ gagne la compétition de la discrépance-$*$, je crois. On peut donc caractériser le nombre d'or (du moins sa partie fractionnaire...) parmi tous les irrationnels (chercher « golden ratio » dans cette page de Wikipédia). -
En allant sur l'OEIS on trouve des suites liées au nombre d'or de jolie manière sans faire appel directement aux nombres de Fibonacci (c'est trop facile) : suite G d'Hofstadter, suite de Golomb , le crible d'or , ...
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Bonsoir MC, je ne vois pas ce que tu me suggères car je pars de DSE bien connue
$$\forall x\in [-1,1], \arcsin^2(x)=\frac12\sum_{n\geq1}\frac{4^nx^{2n}}{n^2{2n\choose n}}$$
et je pose $X=(2x)^2$ pour conclure la formule ci haut pour $X\in [0,4]$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Demande-toi comment on établit ce DSE bien connu et mime la réponse avec $(-1)^n$ en plus. Ou bien remplace $x$ par $\mathrm{i}x$ et espère que le sinus s'hyperbolise (i.e. qu'$\arcsin$ devienne $\mathrm{argsh}$).
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Pour ne pas polluer ce fil, j'arrête cette discussionLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Voici une intégrale sympathique à propos du nombre d'or :
$$ \int_0^{+ \infty} \frac{1}{(1+ x^{\varphi})^{\varphi}} dx = 1$$ -
En combinatoire des mots, on s'intéresse souvent au mot de Fibonacci. Parmi les multiples définitions de celui-ci, on peut donner $F_0 = b$, $F_1 = a$ et $\forall n \in \mathbb{N}, F_{n+2} = F_{n+1}F_n$ (au sens de la concaténation). On peut alors montrer que la suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est croissante pour l'ordre préfixe et qu'elle converge vers un mot infini $F = abaababaabaababaab...$ pour la topologie du Cantor $\{0,1\}^{\omega}$. Le mot $F$ est appelé mot de Fibonacci. La lettre $a$ admet une fréquence dans ce mot qui est $\frac{1}{\varphi}$.Ce mot a également de nombreuses et magnifiques propriétés : il est sturmien : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mot_sturmienOn peut donc également le voir comme une droite discrète de pente $\frac{1}{\varphi}$, le mouvement d'une balle dans un billard rectangulaire (qui est un rectangle d'or), etc.
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$F_{4n+2}-(2n+1)$ est divisible par $5$.
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Bonjour!
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