Un défi

stfj
stfj
dans Géométrie
Bonjour
Voici un problème que j'ai trouvé un peu par hasard et qui m'intéresse, que je vous soumets à mon tour :
Pour ma part, je vais faire du calcul barycentrique avec $A=1:0:0$(etc. ) comme d'habitude.
Cordialement

Réponses

  • stfj
    stfj
    sagemath via
    _____________________
    def norm(P):
        return P/(Linf*P)

    def vecteur(M,N):
        vec=norm(N)-norm(M)
        return vec

    def barycentre2(P,Q,p,q):
        R=p*norm(P)+q*norm(Q)
        return R

    def rapport(B,P,C):
        r=vecteur(B,P)/vecteur(P,C)
        return r

    def line(A,B):
        return A.cross_product(B)

    var('u v w s t')
    A=vector([1,0,0])
    B=vector([0,1,0])
    C=vector([0,0,1])
    D=vector([u,v,w])
    Linf=vector([1,1,1])
    E=line(A,B).cross_product(line(C,D))
    F=line(B,C).cross_product(line(A,D))
    P=barycentre2(B,C,1,t)
    Q=barycentre2(C,D,1,s)
    R=line(E,P).cross_product(line(A,D))
    S=line(F,Q).cross_product(line(A,B))
    print (factor(rapport(B,P,C)*rapport(C,Q,D)*rapport(D,R,A)*rapport(A,S,B)))
    _____________________
    fournit le résultat avancé.$\square$

  • stfj
    stfj
    Si on envoie E et F à l'infini, le résultat devient évident, à condition de trouver les invariants corrects par collinéation.
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (November 2024)
    Bonsoir,
    % Stfj - 30 Novembre 2024 - Un défi

clear all, clc

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms p q r u v w real

D=[u; v; w]; M=[p; q; r];
AD=Wedge(A,D); % AD=[0, -w, v]
CD=Wedge(C,D); % CD=[-v, u, 0]
E=Wedge(AB,CD); % E=[u; v; 0]
F=Wedge(AD,BC); % F=[0; v;, w]
EM=Wedge(E,M); % EM=[-r*v, r*u, p*v-q*u]
FM=Wedge(F,M); % FM=[r*v-q*w, p*w, -p*v]
P=Wedge(EM,BC); % P=[0; p*v-q*u; -r*u]
Q=Wedge(FM,CD); % Q=[p*u*v; p*v^2; p*v*w-q*u*w+r*u*v]
R=Wedge(EM,AD); % R=[p*v*w-q*u*w+r*u*v; r*v^2; r*v*w]
S=Wedge(FM,AB); % S=[p*w; q*w-r*v; 0]

VBP=Vecteur(B,P); VPC=Vecteur(P,C);
X=Factor(VBP(2)/VPC(2)); % X=-r*u/(p*v-q*u)
VCQ=Vecteur(C,Q); VQD=Vecteur(Q,D);
Y=Factor(VCQ(2)/VQD(2)); % Y=-p*v*(u+v+w)/(u*(q*w-r*v))
VDR=Vecteur(D,R); VRA=Vecteur(R,A);
Z=Factor(VDR(2)/VRA(2)); % Z=(w*(p*v-q*u)/(r*v*(u+v+w))
VAS=Vecteur(A,S); VSB=Vecteur(S,B);
T=Factor(VAS(2)/VSB(2)); % T=(q*w-r*v)/(p*w)

Nul=Factor(X*Y*Z*T-1)
% On trouve Nul=0 donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

    PS: $M$ est le point d'intersection des droites $(PR)$ et $(QS)$.
  • gipsyc
    gipsyc
    Modifié (December 2024)
    Bonjour,

    J'avais déjà publié ce problème deux ans avant Van Khéa.

    https://www.facebook.com/share/p/18DEgrVoxy/?


    Voici la solution que je proposais.

    Théorème de Thanasis Ggakopoulos (note de Thanasis Gakopoulos)


                                                    Réécriture : PS/SQ =  (BM · AP/AB) / (MC · AQ/AC)

                                                         ou encore     PS = k · BM · AP/AB

                                                                              SQ = k · MC · AQ/AC

                                                         ou encore     (PS/BM) / (AP/AB) = (SQ/MC) / (AQ/AC) = k

                                                    Réécriture (Romeo Catalinoiu) plus complète

                                                                              AS/AM PQ/BC = AP/AB SQ/MC = AQ/AC PS/BM

    Ici : 


    Gakopoulos ⇒ 

       DR/RA = CP(ED/EC) / BP(EA/EB)              

       (EA/EB) / (ED/EC) = CP/BP AR/RD            (1)

    F(ESAB) = F(EQDC) ⇒ birapports

       (EA/EB) / (SA/SB) = (ED/EC) / (DQ/QC)

       (EA/EB) / (ED/EC) = (AS/SB) / (DQ/QC)    (2)

    (1)=(2) ⇒ 

       CP/BP AR/RD = AS/SB CQ/QD

       AS/SB BP/PC CQ/QD DR/RA = 1


    Cordialement,

    Jean-Pol Coulon 

  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    stfj a dit :
    Si on envoie E et F à l'infini, le résultat devient évident, à condition de trouver les invariants corrects par collinéation.
    Je pense que la conservation des birapports devrait aider à conclure, couplée avec les égalités $(B,P,C,F)=(A,R,D,F)$ et leurs homogènes.
  • gipsyc
    gipsyc
    Bonjour,

    Autre méthode que la mienne, n'utilisant que les birapports : 

    Donnée par Ichung Chen

    Ichung Chen

    E(B,C;P,F) = E(A,D;R,F)

    (BP/PC)/(AR/RD) = (BF/FC)/(AF/FD), similarly

    (CQ/QD)/(BS/SA) = (CE/ED)/(BE/EA)


    (BP/PC)(CQ/QD)(DR/RA)(AS/SB)

    = (BF/FC)(DF/FA)(CE/ED)(AE/EB)

    = (BF/FC)(CD/DE)(EA/AB)‧(DF/FA)(AB/BE)(EC/CD)

    = 1

  • stfj
    stfj
    Je redonne l'image pour suivre le raisonnement proposé plus haut.

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