Complété projectif d'un plan affine

Bonjour

Soit $\mathscr P$ un plan affine réel. Il est aisé de construire une enveloppe vectorielle $\widehat{\mathscr P}$ en choisissant dans $\mathscr P$ un point $A$ arbitraire, et en définissant $$\widehat{\mathscr P}\doteq \mathbb R\times \mathscr P_A$$où $\mathscr P_A$ désigne $\mathscr P$ vectorialisé en $A$. Le complété projectif $\widetilde{\mathscr P}$ est alors défini par $$\widetilde{\mathscr P}\doteq \mathrm P_{\mathbb R}(\widehat{\mathscr P}),$$ie le plan projectif associé à $\widehat{\mathscr P}$.

Le fait que la construction précédente ne soit pas intrinsèque est peu gênant dans la mesure où l'on sait faire une construction de ce type ne dépendant pas d'un point arbitrairement choisi.

On sait par ailleurs la fluidité dans les manipulations des éléments d'un espace affine que cela apporte, où l'on peut envisager, pour $M$ et $N$ deux éléments de $\mathscr P$ l'élément $$M+N$$ qui sans être un élément de $\mathscr P$ n'en est pas moins un élément fondamental de $\widehat{\mathscr P}$ entrant dans la définition du milieu de $[MN]$(1). On peut aussi songer à l'écriture matricielle d'une application affine(2). Disons que mathématiquement, le vectoriel prévaut utilement sur l'affine.

Sans vouloir polémiquer sur la situation de l'Enseignement des mathématiques en France en 2024, qui n'a certainement pas besoin d'une micro-polémique supplémentaire, j'ai néanmoins des interrogations sur ma propre formation et au-delà. Né en 1970, en TC, nous disposions du manuel Hachette (très bien fait) de C.Gautier,C. Thierce et P.Royer, Algèbre linéaire et géométrie. Or, sauf erreur de ma part, de ces considérations fort utiles (prendre par exemple 1 et 2), nulle trace. Au début des années 80, l'affine prévaut dans le cadre de l'enseignement secondaire français sur le vectoriel.

Or, dans le sous-forum Géométrie, personne à ma connaissance ne fait de géométrie élémentaire de cette façon. Sous prétexte d' "un meilleur équilibre entre le vectoriel et le ponctuel", les nouveaux programmes de TC et de TE, n'ont-ils proposé que des méthodes géométriques destinées à être abandonnées dès qu'on aborde l'enseignement supérieur, tout en minimisant de façon exagérée le vectoriel, le lien entre algèbre linéaire(ie espaces vectoriels) et géométrie étant comparable à celui d'une clé et d'une serrure?

Cordialement