Point fixe

mathspe
Modifié (November 2024) dans Analyse
Théorème du point fixe de Banach.

Soit ( $E,\| \|$ ) un espace de Banach réel, $A$ un sous-ensemble fermé non vide de $E$ et $T \in A^A$ vérifiant: il existe $\alpha \in\left[0,1\left[\right.\right.$ tel que, pour tout $(x, y) \in A^2,\|T(x)-T(y)\| \leqslant \alpha\|x-y\|$ ( $T$ est une contraction).
1. Soit $(x, y) \in A^2$ tel que $T(x)=T(y)$ montrer que $x=y$.
Je ne vois pas comment faire. Merci

Réponses

  • Bonsoir 
    Tu es certain de ton énoncé?
    Je vois que tu parles du théorème du point fixe de Banach. J'ai l'impression que tu cherches à démontrer l'unicité du point fixe.
  • je l'ai trouvé dans un exercice.  je crois que la question est fausse, pour ce faire on considère $T(x)=x_0\in E$ pour tout $x\in E$.
  • La question serait plutôt : on suppose que Tx = x et Ty= y. Alors x=y. En d'autre mots, il y a unicité du point fixe 
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