Droites affines parallèles

aleph0
aleph0
dans Algèbre
Bonjour

Soient x, y, z des coordonnées affines, et a*x+b*y+c*z=0, A*x+B*y+C*z=0 deux droites affine. Pourquoi la condition pour que les droites soient parallèle est que (b-a, c-a) et (B-A, C-A ) sont colinéaires?

Merci!

Réponses

  • Bu
    Bu
    Soient x, y, z des coordonnées affines

    3 coordonnées affines dans un plan ? Bizarre, bizarre. Tu veux peut-être parler de coordonnées barycentriques ?

    On écrit alors $\left|\begin{matrix} a&b&c\\ A&B&C\\ 1&1&1 \end{matrix}\right|=0$.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Deux droites d'un plan affine sont parallèles si, et seulement si, leur intersection est vide, c'est-à-dire si,et seulement si, le système~:
    \[\begin{cases}ax+by+cz=0\\Ax+By+Cz=0\end{cases}\]
    n'a aucune solution en termes de coordonnées affines, ou encore~: les solutions de ce système satisfont \(x+y+z=0\).

    On établit ainsi que la condition de parallélisme est que les trois formes \(x+y+z\), \(ax+by+cz\) et \(Ax+By+Cz\) soient liés, c'est-à-dire que le déterminant~:
    \[\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\A&B&C\end{vmatrix}\]
    soit nul~; or, en soustrayant la première colonne à chacune des deux autres, puis en développant par rapport à la première ligne~:
    \[\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\A&B&C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a&\\A&B-A&C-A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b-a&c-a&\\B-A&C-A\end{vmatrix}\]
    et la nullité de ce déterminant est unz condition nécessaire et suffisante de colinéarité de \((b-a,c-a)\) et \((B-A,C-A)\°.
  • aleph0
    aleph0
    Oui, merci. Je voulais dire coordonnées barycentriques. Est-ce que ce condition(det=0) est déduite du fait que dans le prolongement canonique du plan affine, l'intersection des deux plan a*x+b*y+c*z=0, A*x+B*y+C*z=0 est parallèle au plan x+y+z=0?
  • aleph0
    aleph0
    Merci gb! Ton explication est plus claire que mon raisonnement.
  • Bu
    Bu
    gb a déjà donné une explication. Pour moi, qui pense que les coordonnées barycentriques ne sont que des coordonnées projectives homogènes sous un faux nez maladroit, on écrit que les deux droites ont un point commun avec la droite de l'infini $x+y+z=0$.

    Un petit bémol tout de même à l'explication de gb. La nullité du déterminant n'entraîne pas que l'intersection des deux droites est vide. Les deux droites peuvent aussi être confondues.
  • aleph0
    aleph0
    Bu, pourquoi cela(que les deux droites ont un point commun avec la droite de l'infini) entraîne que le déterminant est zéro?
  • gb
    gb
    En fait, j'ai la même approche que Bu, et j'ai essayé de cacher la réalité projective, en oubliant le cas où les deux droites parallèles sont confondues.

    Dans le complété projectif de l'espace affine, les deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles sont sécantes sur la droite de l'infini, ce qui signifie que le système fournissant les points communs aux trois droites est homogène et possède une solution non triviale, d'où la caractérisation par nullité du déterminant.
  • aleph0
    aleph0
    Merci à vous tous! Je me souviens du résultat de géométrie projective maintenant.
  • stfj
    stfj
    On se place dans le plan projectif $\mathrm P^2$. On choisit un repère projectif $(U,V,W,\Omega)$. $[a,b,c]$ et $[A,B,C]$ désignent deux éléments du dual de $\mathrm P^2$, autrement dit deux droites. "La droite à l'infini" est $$\mathcal L_{\infty}\simeq [1,1,1]$$Dire que "les deux droites sont parallèles" ou encore "les deux droites s'intersectent à l'infini", c'est dire que le point d'intersection de $[a,b,c]$ et $[A,B,C]$ appartient à $\mathcal L_{\infty}\simeq [1,1,1]$, ie $$\mathcal L_{\infty}\cdot ([a,b,c]\wedge [A,B,C])=\begin{vmatrix}a & A & 1 \\b & B & 1 \\c & C & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & A & 1 \\b-a & B-A & 0 \\c-a & C-A & 0\end{vmatrix}=0$$
    ____________________________
    Exemple : prenons $\mathbb R$ le corps de base. Soit $UVW$ un triangle. Soit $U'\simeq 0:1:1$ et $V'\simeq 1:0:1$. Alors la droite $U'V'\simeq [1,1,-1]$ est parallèle à $UV\simeq 1: -1 :0$
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