Espace des cercles

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Réponses

  • stfj
    stfj
    Ici, cela commence à prendre forme.
  • stfj
    stfj
    Modifié (November 2024)
    Je ne comprends pas pourquoi personne n'a fourni la quadrique $$Q\simeq\left( \begin{array}{cccc}  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & -2 \\  0 & 0 & -2 & 0 \\ \end{array} \right)$$Pedoe l'explique de façon très élémentaire (probablement accessible à un lycéen un peu doué) p.81 de Geometry : a comprehensive course, comme je l'ai repris dans le lien ci-dessus. Il n'y a pas de quoi casser trois pattes à un canard tout de même.
  • pldx1
    pldx1
    Je ne comprends pas pourquoi "personne" ne fait le lien entre la base choisie pour définir le plongement de Veronese et la forme quadratique "fondamentale" qui en résulte. Il n'y a pourtant pas de quoi casser trois pattes à un myriapode !
  • stfj
    stfj
    Modifié (November 2024)
    p.37 de projective geometry, dans le §1.6, Pierre Samuel explique pourquoi il est bien ("it is well") de définir un cercle comme $$\{x:y:t\in \mathrm P_{\mathbb C}(\mathbb C^2): \exists (a,b,c,d)\neq(0,0,0,0): [xt,yt,t^2,x^2+y^2]\cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d\end{pmatrix}=0\}$$
    "Ainsi, un cercle est caractérisé par le point de coordonnées homogènes $$\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d\end{pmatrix}$$ dans un espace projectif $$\mathrm P^3$$"(1986)
    L'orthogonality est traitée page 40, de façon limpide. Un Bourbaki, what else ?
  • stfj
    stfj
    Modifié (November 2024)
    Soit $\mathscr C\doteq \{(x,y)\in \mathbb R^2|1(x^2+y^2)-2ax-2by+c=0\}$. Le point $\begin{pmatrix}1 \\a \\b \\c\end{pmatrix}$ de l'espace $0abc$ représente $\mathscr C$.
    Un point du paraboloïde $c=a^2+b^2$ va représenter un cercle de rayon nul, ie un point. Pedoe explique cela dans Geometry, a comprehensive course, p138.



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