loi de composition

Bonjour,

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$, on definit sur $\mathbb{R}\setminus \{\alpha\}$ la loi de composition suivante:
$$\forall x,y\in\mathbb{R}\setminus \{\alpha\},\quad x*y=\alpha-(\alpha-x)(\alpha-y)$$
Comment monter que la loi $*$ est une loi de composition interne? 
voilà ce que j'ai fait mais je ne sais pas comment continuer!\\
Soient $x,y\in\mathbb{R}\setminus \{\alpha\},\quad x*y=\alpha-(\alpha-x)(\alpha-y)=-\alpha^2+\alpha x+\alpha y+\alpha -xy$\\
On raisonne par l'absurde on suppose que $x*y\notin\mathbb{R}\setminus \{\alpha\}$, \\
alors $x*y=\alpha \Rightarrow -\alpha^2+\alpha x+\alpha y-xy=0$.\\
je ne sais pas comment continuer, merci de votre aide

Réponses

  • La règle du produit nul !
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Surtout ne développe pas. :)
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Bonjour,
    Réécrire la définition de $\ast$ sous la forme
    $$\alpha - (x\,\ast\,y)= (\alpha-x) (\alpha-y)$$
    laisse voir la grosse ficelle de l'exercice.

  • On raisonne par l'absurde on suppose que $x*y\notin\mathbb{R}\setminus \{\alpha\}$, \\
    alors $$x*y=\alpha \Rightarrow \alpha-(\alpha-x)(\alpha-y)=alpha\Rightarrow (\alpha-x)(\alpha-y)=0$$
    donc $\alpha-x=0$ ou $\alpha-y=0$ ce qui est absurde car $x\neq \alpha$ et $y\neq \alpha$
    conclusion $x*y\in\mathbb{R}\setminus \{\alpha\}$

  • Thierry Poma
    Modifié (November 2024)
    @rosemary : l'astuce proposée par @GaBuZoMeu est intéressante. En effet, pour tous $x$, $y$ dans $\R\setminus\{\alpha\}$, clairement $\alpha-x\ne0$ et $\alpha-y\ne0$, ce qui nous donne\[(\alpha-x)(\alpha-y)\ne0\]en vertu du fait que $\R$ est un corps (en particuliers un anneau intègre). Le résultat voulu découle immédiatement de l'identité proposée par @GaBuZoMeu.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Rescassol
    Modifié (November 2024)
    Bonjour,

    C'est un simple transport de structure par la bijection $x\mapsto \alpha -x$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • canasson29
    Modifié (November 2024)
    Bonsoir,
    @Rescassol tu veux dire transport de structure de $\mathbb{R}^*$ muni du produit  vers $\mathbb{R} \setminus \lbrace \alpha \rbrace$ via la bijection indiquée ?
  • Bonsoir,

    Oui.

    Cordialement,
    Rescassol

  • etanche
    Modifié (November 2024)
    Y-a-t-il une  factorisation pour $\alpha - x\ast y \ast z$ ?
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