Un problème de Cucoanes

Bouzar · November 2024

Bonjour,

1. $ABC$ est un triangle,

2. $O$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$,

3. $O_a$ est le centre du cercle circonscrit à $OBC$,

4. $O_b$ est le centre du cercle circonscrit à $AOC$,

5. $O_c$ est le centre du cercle circonscrit à $ABO$.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/r9/sycff03cwza3.jpg

Question : Montrer que $O$ est le centre du cercle inscrit du triangle $O_aO_bO_c.$

Amicalement

Vassillia · November 2024

Bonjour, voilà une version toutes coordonnées compatibles,

en barycentriques, c'est à dire avec $A=(1:0:0)$, $B=(0:1:0)$ et $C=(0:0:1)$ on trouve le cercle final $(-3a^2b^2c^2, -3a^2b^2c^2, -3a^2b^2c^2, 4(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c))$

en inclusives circonscrites, c'est à dire avec $A=(\alpha:1:1/\alpha)$,$B=(\beta:1:1/\beta)$ et $C=(\gamma:1:1/\gamma)$ on trouve le cercle final $(0, -1, 0, 4)$

en cartésiennes, c'est à dire avec $A=(-1:0:1)$, $B=(1:0:1)$ et $C=(x_C:y_C:1)$ on trouve le cercle final $(0, -16(x_C^2 + y_C^2 - 1)y_C, 3x_C^4 + 6x_C^2y_C^2 + 3y_C^4 - 6x_C^2 - 10y_C^2 + 3, 16y_C^2)$

Lequel vous parait le plus joli ? D'ailleurs il me semble que $O$ peut-être le centre d'un cercle exinscrit

def simple(vec):
    if len(vec)==3:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2])

    if len(vec)==4:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2]),numerator(vec[3])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2]),denominator(vec[3])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        vec3=factor(vec[3]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2,vec3])

def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def vecteur(P1,P2):
    return norm(P2)-norm(P1)

def distance2(P1,P2) :
    vec=vecteur(P1,P2)
    return vec*pyth*vec

def ver(P) :
    return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P*pyth*P])

def cercle(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])

def cercle2(centre,point):
    return invQ*ver(norm(centre))- distance2(centre,point)* vector([Linf[0],Linf[1],Linf[2],0])

def centre(cer): #TriangleCenter(P1,P2,P3,3)
    cen=matQ*cer
    return vector([cen[0], cen[1], cen[2]])

def perp(droite,point):
    Pinf=matM*droite
    return point.cross_product(Pinf)

def gram(cer1,cer2):
    return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2

def Cuconaes(A,B,C):
    O=simple(centre(cercle(A,B,C)))
    Oa=simple(centre(cercle(O,B,C)))
    Ob=simple(centre(cercle(A,O,C)))
    Oc=simple(centre(cercle(A,B,O)))
    OaOb=Oa.cross_product(Ob)
    ObOc=Ob.cross_product(Oc)
    OcOa=Oc.cross_product(Oa)
    proj=OaOb.cross_product(perp(OaOb,O))
    inscrit=simple(cercle2(O,proj))
    cercleOaOb=vector([OaOb[0],OaOb[1],OaOb[2],0])
    cercleObOc=vector([ObOc[0],ObOc[1],ObOc[2],0])
    cercleOcOa=vector([OcOa[0],OcOa[1],OcOa[2],0])
    print(inscrit)
    print(factor(gram(inscrit,cercleOaOb)))
    print(factor(gram(inscrit,cercleObOc)))
    print(factor(gram(inscrit,cercleOcOa)))

#version coordonnées barycentriques
var('a b c' , domain='positive') #a=Distance(B,C) ; b=Distance(C,A) : c=Distance(A,B)
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2 # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
Linf=vector([1,1,1]) ; Ox=vector([Sb-i*S,Sa+i*S,-c^2]) ; Oy=vector([Sb+i*S,Sa-i*S,-c^2]) #ombilics
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]]) #cercle circonscrit à ABC
matW=matrix([[0,1,-1],[-1,0,1],[1,-1,0]]) #point à l’infini
matM=matrix([[a^2,-Sc,-Sb],[-Sc,b^2,-Sa],[-Sb,-Sa,c^2]]) #orthodir à multiplier par 1/S
invQ=matrix([[0,c^2,b^2,1],[c^2,0,a^2,1],[b^2,a^2,0,1],[1,1,1,0]])
matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2) #quartique de l’espace des cycles

print('version barycentriques')
A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
Cuconaes(A,B,C)

#version coordonnées inclusives
S=i ; Linf=vector([0,1,0]) ; Ox=vector([1,0,0]) ; Oy=vector([0,0,1]) #ombilics
pyth=1/2*matrix([[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]]) #cercle de centre (0,0) et de rayon 0
matW=matrix([[0,0,-1],[0,0,0],[1,0,0]]) #point à l’infini
matM=matrix([[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]]) #orthodir à multiplier par 1/S
invQ=matrix([[0,0,-1,0],[0,0,0,1],[-1,0,0,0],[0,1,0,0]])
matQ=-matrix([[0,0,-1,0],[0,0,0,1],[-1,0,0,0],[0,1,0,0]]) #quartique de l’espace des cycles

var('alpha beta gamma')
print('version inclusives')
A=vector([alpha,1,1/alpha])
B=vector([beta,1,1/beta])
C=vector([gamma,1,1/gamma])
Cuconaes(A,B,C)

#version coordonnées cartésiennes augmentées
S=1 ; Linf=vector([0,0,1]) ; Ox=vector([1,i,0]) ; Oy=vector([1,-i,0]) #ombilics
pyth=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]) #cercle de centre (0,0) et de rayon 0
matW=matrix([[0,1,0],[-1,0,0],[0,0,0]]) #point à l’infini
matM=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]) #orthodir à multiplier par 1/S
invQ=matrix([[-2,0,0,0],[0,-2,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]])
matQ=1/2*matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,-2,0]]) #quartique de l’espace des cycles

var('xC yC')
print('version cartésiennes')
A=vector([-1,0,1])
B=vector([1,0,1])
C=vector([xC,yC,1])
Cuconaes(A,B,C)

Jean-Louis Ayme · November 2024

Bonjour,
OaObOc est le triangle de Kosnita ou Kosnitza.

Le résultat proposé est évident.

Au passage (AOa), (BOb) et (COc) sont concourantes....

Sincèrement
Jean-Louis

Vassillia · November 2024

Pas convaincue par l'évidence du résultat puisque cela me semble faux, c'est le centre d'un des 4 cercles inscrit ou exinscrits ou je me trompe ? Même si en effet, les droites indiquées sont concourantes (vérifié par le calcul)

jelobreuil · November 2024

Bonjour @Bouzar, bonjour @Vassillia, bonjour à tous,

Ceci est véritablement, à mon humble avis, un problème de géométrie élémentaire, qui peut être posé dès que l'on aborde les bases de la géométrie classique de collège (du moins celle qu'on m'a enseignée, dans les années circa 1965) :

$Oa$ et $Ob$ sont les centres respectifs des cercles circonscrits aux triangles $OBC$ et $OCA$, donc on peut écrire les égalités suivantes : $OaO = OaC$ et $ObO = ObC$ : la droite $OaOb$ est donc la médiatrice de $OC$, perpendiculaire à $OC$ en son milieu. De même, la droite $ObOc$ est la médiatrice de $OA$ et la droite $OcOa$ est la médiatrice de $OB$.

$O$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$, donc $OA = OB = OC$, donc $OA/2 = OB/2 = OC/2$. Et puisque la relation de perpendicularité est réciproque, les segments $OC$, $OA$ et $OB$ sont respectivement perpendiculaires aux droites $OaOb$, $ObOc$ et $OcOa$. Il en résulte que les trois valeurs $OA/2$, $OB/2$ et $OC/2$ ne sont pas autre chose que celles des distances du point $O$ aux trois droites susdites, donc aux côtés du triangle $OaObOc$ ou aux droites qui portent ceux-ci. Et l'on voit donc que ce point $O$, équidistant des droites portant les côtés du triangle $OaObOc$, est bien l'un des quatre points du plan possédant cette propriété, à savoir le centre du cercle inscrit et les centres des trois cercles exinscrits.

Mais lequel précisément ? Cela dépend de la nature du triangle de départ : si celui-ci est acutangle, il s'agira du centre du cercle inscrit, voir ma figure ; et s'il est obtusangle, il s'agira du centre de cercle exinscrit situé à l'intérieur de l'angle obtus du triangle de base, voir la figure de Vassillia. En effet, dans ce dernier cas, le centre du cercle circonscrit au triangle de base se trouve à l'extérieur de celui-ci, dans la région du plan délimitée par le grand côté du triangle et les prolongements de ses deux autres côtés.

Eh oui, que voulez-vous, c'est pour ainsi dire mon péché mignon : j'aime bien écrire de jolies phrases, élégamment tournées ... Vous appréciez, j'espère ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Vassillia · November 2024

J’apprécie suffisamment pour t'avoir lu, tu as encore réussi à me faire lire une démonstration synthétique, bien joué, et en plus celle là est à mon niveau donc je suis d'accord, c'est abordable au collège !

jelobreuil · November 2024

@Vassillia, le point de concours des droites AOa, BOb et COc est le point de Kosnitza du triangle ABC.

J'espère que mes explications (écrites sans avoir lu ton dernier message) t'auront convaincue, non pas de l'évidence, mais de la vérité, au moins partielle, du résultat annoncé par @Bouzar ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Vassillia · November 2024

Convaincue en effet ! Et on est d'accord sur le coté inscrit ou exinscrit.

J'avais oublié pour le point de Kosnitza, en fait sans les coordonnées puis une recherche ETC, je suis toujours infichue de nommer quoi que ce soit à part les 4 premiers points, j'ai du mal à voir l’intérêt de les apprendre, j'imagine que cela joue dans ma capacité de mémorisation.

jelobreuil · November 2024

Rassure-toi, @Vassillia, je n'en connais pas beaucoup plus que toi ... Je connais ce point de Kosnitza, parce que je me suis intéressé, il y a quelque temps, à ces trois cercles (que Jean-Louis Ayme appelle "de Kosnitza", d'ailleurs ...) qui passent chacun par deux sommets d'un triangle et le centre du cercle circonscrit à celui-ci, et que j'ai trouvé ce nom dans l'article de Jean-Louis sur ce sujet. C'est un point que je dirais "un peu exotique", dans la mesure où sa définition n'est pas immédiate, à partir du triangle de base ... C'est comme les quatre points de Feuerbach ... En fait, en plus des quatre points que tu connais déjà, on peut se contenter, me semble-t-il, de bien connaître les points de Lemoine, de Gergonne, et de Nagel, dont les définitions sont relativement simples. Cela en fait sept en tout, ce n'est pas vraiment difficile ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Edit : il y a aussi le centre du cercle d'Euler, que j'ai oublié ... Cela en fait donc huit, dont quatre alignés sur la droite d'Euler !

canasson29 · November 2024

Pourquoi Cucoanes au fait ?

canasson29 · November 2024

Bonsoir,

la configuration suivante ne remet-elle pas en question le fait que le $O$ est le centre du cercle inscrit au triangle $O_AO_BO_C$ ?

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/dj/7ld3d5pmalzk.png

canasson29 · November 2024

J'aurais dû mieux te lire @jelobreuil ! Je suis resté sur le résultat général de @Bouzar qui est inexact

Rescassol · November 2024

Bonsoir,

% Bouzar - 22 Novembre 2024 - Un problème de Cucoanes

clear all, clc

syms a b c S real

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre O du cercle circonscrit
O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; 

Oa=SimplifieBary(CercleTroisPointsBary(O,B,C,a,b,c));
Ob=SimplifieBary(CercleTroisPointsBary(O,C,A,a,b,c));
Oc=SimplifieBary(CercleTroisPointsBary(O,A,B,a,b,c));

Ra2=Factor(DistancePointDroiteBary2(O,Wedge(Ob,Oc),a,b,c))
Rb2=Factor(DistancePointDroiteBary2(O,Wedge(Oc,Oa),a,b,c))
Rc2=Factor(DistancePointDroiteBary2(O,Wedge(Oa,Ob),a,b,c))
% On trouve Ra2=Rb2=Rc2=a^2*b^2*c^2/(64*S^2)
% O est équidistant des trois côtés du triangle (Oa Ob Oc)
% O est donc le centre du cercle inscrit ou d'un cercle exinscrit
% dans le triangle (Oa Ob Oc)
% Son rayon est R=a*b*c/(8*S)

Cordialemernt,
Rescassol

jelobreuil · November 2024

@canasson29, Permets que je te le fasse remarquer : c'est ce que tu écris qui est inexact, car le résultat qu'annonce Bouzar n'est qu'un résultat particulier, mais tout de même exact, valable dans le cas d'un triangle acutangle : donc c'est un résultat incomplet, du point de vue général ...

Mais bon, tout cela n'est pas très grave !

Bien amicalement, JLB

canasson29 · November 2024

je ne comprends pas que tu me reprennes sur le terme inexact ou bien mon français est défaillant. Dans le Larousse. Premier sens donné : qui contient des erreurs. L'énoncé de Bouzar contient en effet des erreurs. J'aurais peut-être pu même dire erroné Et mathématiquement parlant, c'eut été pire en disant qu'il est faux

Avec contre-exemple à la clé !

Alors disons que Bouzar est imprécis mais ce que je dis n'est pas inexact ! j'espère que tu reconnaitras cela @jelobreuil

jelobreuil · November 2024

@canasson29 Bonjour,

Si tu y tiens ... Je ne vais pas en faire tout un fromage !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Un problème de Cucoanes

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