Une équation diophantienne

Sara1993
Sara1993
Modifié (November 2024) dans Arithmétique
Bonjour,
Comment montrer que l’équation $ 11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2 $ n’a pas de solutions entières lorsque x≠0?
j’ai montré, en considérant l’équation du second degré en $ x^2 $ que $ 56y^2+385z^2 $ doit être un carré parfait. Est ce que c’est correct, si oui comment montrer alors que c’est impossible. 

Réponses

  • marco
    marco
    Modifié (November 2024)
    Il faut raisonner modulo $11$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Pour $y=z=1$ par exemple, $56y^2+385z^2=441$ qui est un carré parfait.

    Cordialement,
    Rescassol

  • lourrran
    lourrran
    $56y^2+385z^2$ doit être un carré parfait. Effectivement, c'est une condition nécessaire pour que l'équation ait une solution.
    Mais ce n'est pas une condition suffisante.

    Et si tu cherches à montrer que $56y^2+385z^2$ n'est jamais un carré parfait, tu ne vas certainement pas y arriver, puisque pour $y=1$ et $z=1$ par exemple, c'est un carré parfait.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • pozzar
    pozzar
    @marco, modulo 7 c'est mieux non pour garder seulement le premier terme en x^4 et en tirer une condition sur x ?

  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (November 2024)
    Pour deux dollars de plus, on écrit  : $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (November 2024)
    L'entier $x$ est divisible par $7$, et $z^2 \equiv y^2 (\mathrm{mod.} ~49)$, mais je crains que ça n'avance guère...

  • Math Coss
    Math Coss
    @Sara1993 : regarde la différence entre taper 
    11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2
    qui donne : 11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2
    et, pour quelques dollars de plus, taper
    $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$
    qui donne $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$.
    Ce n'est pas cher payé pour le gain de lisibilité !
  • Sara1993
    Sara1993
    Modifié (November 2024)
    Effectivement , je ne dois pas chercher à obtenir la contradiction en utilisant $56y^2+385z^2$
    je me demande alors comment va intervenir l’hypothèse : x≠0 pour avoir cette contradiction.
  • marco
    marco
    $(x,y,z)=(7,42,7)$ je crois que c'est une solution.
  • marco
    marco
    Ou $(x,y,z)=(14,63,35)$
  • marco
    marco
    Ou $(x,y,z)=(14,63,35)$
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici d'autres solutions (toutes celles pour lesquelles $x$ et $|y|$ sont plus petits que 1000 ?) : 
    (7, -108, 137)
(7, 42, 7)
(14, -432, 548)
(14, -42, 154)
(14, 63, 35)
(14, 168, 28)
(14, 258, 134)
(21, -972, 1233)
(21, -532, 791)
(21, 28, 217)
(21, 48, 195)
(21, 168, 21)
(21, 378, 63)
(21, 418, 121)
(21, 798, 525)
(28, -168, 616)
(28, 252, 140)
(28, 282, 86)
(28, 672, 112)
(35, -990, 1705)
(35, -504, 1211)
(35, 24, 661)
(35, 210, 455)
(35, 336, 301)
(35, 342, 293)
(35, 420, 175)
(35, 462, 77)
(42, -813, 1833)
(42, -378, 1386)
(42, 112, 868)
(42, 192, 780)
(42, 462, 462)
(42, 567, 315)
(42, 662, 122)
(42, 672, 84)
(56, -672, 2464)
(63, 252, 1953)
(63, 432, 1755)
(63, 932, 1175)
(70, -570, 3350)
(70, 42, 2702)
(70, 96, 2644)
(70, 378, 2338)
(70, 840, 1820)
(77, 492, 2791)
(84, 448, 3472)
(84, 768, 3120)
(105, -924, 7161)
(105, -210, 6405)
(105, 216, 5949)
(105, 700, 5425)
(140, 168, 10808)
(140, 384, 10576)
(154, 693, 12551)
(168, -798, 16674)
(175, 600, 16525)
(210, -840, 25620)
(210, -129, 24861)
(210, 378, 24318)
(210, 864, 23796)
(266, -627, 40337)
(273, 182, 41587)
(280, 672, 43232)
(420, -516, 99444)
(546, 728, 166348)
(630, 665, 221795)

  • Sara1993
    Sara1993
    Modifié (November 2024)
    Merci pour tous  ces éclaircissements, il semble qu’en réduisant le problème que je voulais résoudre à cette équation, je me suis trompée de direction. 
    Voici le problème original 
    il s’agit de montrer que l’équation suivante en entiers relatifs n’a pas de solution lorsque a≠0

    $3a^6-21a^4b+35a^3c+35a^2b^2+70c^2-105abc=0$

    le fait d’avoir considéré le discriminant a faussé mon chemin. Mais je ne sais toujours pas comment y répondre. 
  • Math Coss
    Math Coss
    Fais péter les dollars !
  • lourrran
    lourrran
    Tous les coefficients sont multiples de $7$, sauf le premier. Donc $a$ est forcément multiple de $7$.
    Tu peux faire un changement de variable, $a=7d$ , tout simplifier par $7$ ... et voir ce que ça donne.
    J'ai l'impression que le facteur $5$ va nous permettre de faire le même type de manipulation.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Math Coss
    Math Coss
    Est-ce que $(-14, 63, -98)$ ne serait pas une solution ?

  • Sara1993
    Sara1993
    Oui ! (-14, 63, -98 ) est une solution !
    alors dans ce cas mon équation a bien des solutions même lorsque x≠0. 
    Comment je pourrais alors obtenir l’ensemble de toutes les solutions? 
    Désolée pour trop de questions ! 
  • Math Coss
    Math Coss
    Aucune idée (ça me semble mission impossible). Voici deux autres solutions en tout cas (la troisième était connue vu qu'on peut librement changer $(a,b,c)$ en $(-a,b,-c)$).
    (7, 42, 147)
(14, 63, -147)
(14, 63, 98)
  • Sara1993
    Sara1993
    En tout cas, merci beaucoup ! 
    Au moins je ne continue pas à chercher vainement à prouver qu’il n’y a pas de solution !
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (November 2024)
    Bonjour,
    La résolution complète de l'équation diophantienne $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$ est sans doute humainement possible mais exige une minutie et une pugnacité  supérieures à celles dont je suis capable.
    Cette équation admet en tous cas une infinité de solutions $(x,y,z)$ (cela n'est pas vraiment un "scoop"), dont l'ensemble est la réunion  de fournées d'un type similaire à celles indiquées ci-dessous.
    $$\left\{\left(7st,\: \dfrac{147s^2t^2+\varepsilon(49s^4+14t^4)}5,\:\dfrac {49s^4-14t^4}5\right)\mid \varepsilon =\pm1,\:  (s,t) \in\Z^2,\:s^2 \equiv \varepsilon t^2 \mod 5\right\},$$
    $$\left\{\left(14 st,\:\dfrac{588s^2t^2+\varepsilon(196t^4+56s^4)}5,\:\dfrac{196t^4-56s^4}5 \right) \mid \varepsilon =\pm1,\:(s,t) \in \Z^2,\:s^2\equiv \varepsilon t^2 \mod 5 \right\},$$
    $$\left\{\left( 7st, \: \dfrac{147s^2t^2 -\varepsilon(s^4 +686t^4)}5,\:\dfrac{s^4-686t^4}5\right) \mid \varepsilon = \pm 1,\:(s,t) \in\Z^2,\:s^2\equiv\varepsilon t^2 \mod 5 \right\},$$
    $$\Big\{\left(35st,\:35s^2t^2\pm35(s^4+14t^4),\:490t^4-35s^4\right) \mid (s,t) \in \Z^2\Big\}.$$


  • Sara1993
    Sara1993
    Modifié (November 2024)
    Bonjour LOU 16,
    Puis-je avoir une idée ou de grandes lignes concernant votre résolution? À moins que vous jugez que ce soit trop difficile pour moi. 
    C’est en tout cas très intéressant . Merci beaucoup.
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (November 2024)
    Bonjour @Sara1993,
    Ce qui n'est pas trop difficile pour moi n'a aucune raison de l'être pour toi.
    J'ai trouvé plus confortable de considérer le polynôme $11x^4-42x^2yx+35y^2-35z^2$ comme un polynôme en $y$, ce qui conduit à $35^2z^2+56x^4 = u^2=(7v)^2,\quad x=7x_1, \quad (v-5z)(v+5z) =8.7^3x_1^4.$
    Une délicate discussion  où il n'est vraiment pas facile de ratisser rigoureusement "tous les cas" (je ne l'ai pas fait) permet alors d'écrire $v-5z$ et $v+5z $ en fonction d'une décomposition de $x_1 =st.$
  • Sara1993
    Sara1993
    Modifié (November 2024)
    Merci beaucoup !
    Au fait j’ai pu  arriver à ces équations: j’ai multiplié l’équation du départ par 5, et manipulé un peu pour obtenir $7((5y-3x^2)^2-(5z)^2)=8x^4$
    et en posant x=7x1 , et v= $5y-3x^2 $puis u=7v , j’ai obtenu : 
    $v^2-25z^2=8.7^3. x1^4$
    et en multipliant par 7^2 j’obtiens :
    $35^2z^2+56x^4=u^2. $
    Maintenant pour le reste, à savoir paramétrer en fonction de s et t , je ne vois pas encore clairement , je suis arrivée au point: $7st= x^4$avec s=v-5z et t=v+5z.  
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Tu n'as pas de touche "dollar" sur ton clavier ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Sara1993
    Sara1993
    Bonjour, Désolée si mon écriture d’équation de la sorte vous ait dérangé autant !
  • canasson29
    canasson29
    Modifié (November 2024)
    Bonsoir Sara1993,
    Rescassol souhaite simplement que tu aies le réflexe de mettre tes formules mathématiques entre deux symboles dollar 
    comme tout utilisateur du logiciel latex le fait.
    x^2+x+1 c'est moche ! mais en les mettant entre deux $ ça embellit la situation :
    $x^2+x+1$
    Il faut avouer que ça a plus de gueule ! C'est surtout plus lisible. Tu peux toujours modifier tes différents posts en intercalant tes formules à l'aide d'un dollar initial et un dollar final et Rescassol sautera de joie :smile: Et nous tous avec lui ! Pour quelques dollars de plus, même si je préfère les euros :)

  • Sara1993
    Sara1993
    Bonjour Canasson 29

    Oui, j’ai bien compris. Je vous en remercie.
    En effet, quelques secondes de plus ne me coûteront rien. Je veillerai dorénavant à utiliser le “ dollar  ”. J’aurais bien voulu avoir le choix pour pouvoir utiliser “ l’euro “ :)

  • Chaurien
    Chaurien
    Encore mieux, le franc.
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