Inversion et espace des cercles

stfj · November 2024

Bonjour

Voici des calculs que l'on peut lire dans 1.6.- L'espace des cercles dans Géométrie projective (puf 1986) de Pierre Samuel.

Un cercle $$a(x^2+y^2)+bxt+cyt+dt^2=0.........................(1)$$ est d'abord décrit comme un point $$\begin{bmatrix}x^2+y^2 & xt & yt & t^2\end{bmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b \\c \\d\end{pmatrix}$$d'un espace projectif de dimension $3$.

Puis une inversion de rapport $k$ par $$x:y:t\mapsto x':y':t'\simeq kxt : kyt : x^2+y^2..........(2)$$On se propose de démontrer alors le résultat classique concernant l'action des inversions sur les cercles $a:b:c:d$ et voici les calculs qu'on fait :

$"$En portant $x',y',t'$ de $(2)$ dans $(1)$ et en éliminant $x^2+y^2$, on obtient $$d(x^2+y^2)+bkxt+ckyt+ak^2t^2=0$$pour conclure $$a:b:c:d\mapsto d:bk:ck:ak^2"$$

____________________________

Je ne comprends pas la dernière étape : est-ce du n'importe quoi? L'impression d'une fulgurance soit sans sens soit géniale.

Selon moi, on part d'un cercle $a:b:c:d$. Un point $M\simeq x:y:t$ de ce cercle vérifie bien $(1)$. Mais ce n'est pas ce qu'on écrit : on traduit que l' image du point $M$ par l'inversion est sur ce cercle.

___________________________________________________

Qu'est-ce que je ne comprends pas ?

Cordialement.

stfj · November 2024

Je crois que je l'ai en utilisant le fait que l'inversion est une involution: on a prouvé que si $Inv (M)\in \mathscr C$, alors $M\in \mathscr C'$. Cela entraîne que si $M=Inv(Inv(M))\in \mathscr C$, alors $Inv (M)\in \mathscr C'$.

GaBuZoMeu · November 2024

Bonjour,

C'est un peu gâcher la marchandise que se placer dans l'espace des cercles et ignorer la géométrie de cet espace !

L'espace des cercles, c'est un espace projectif réel de dimension 3 avec dedans une quadrique $Q$ non réglée (de signature (3,1)) qui est la quadrique des cercles-points et un plan $D$ (le plan des droites) tangent à $Q$ au point $\infty$.

Soit alors $c$ un cercle (un point de cet espace) qui n'est pas un cercle-point (pas sur $Q$). Qu'est ce que l'inversion par rapport à $c$, comment agit-elle sur l'espace des cercles ? Soit $P$ le plan polaire de $c$ par rapport à $Q$ (le plan ces cercles orthogonaux à $c$). Soit $d$ différent de $c$ ; la droite $(cd)$ coupe le plan $P$ en $e$. L'image de $d$ par l'inversion par rapport à $c$ est le conjugué harmonique de $d$ par rapport à $c$ et $e$, sauf erreur.

Vérifier par exemple que l'inversion échange les cercles passant par le centre de $(c)$ avec les droites (rappel : le centre de $c$ est la deuxième intersection de $(\infty c)$ avec $Q$).

Autre exercice : c'est quoi, l'inversion par rapport à une droite ?

GaBuZoMeu · November 2024

Remarque : la description de l'inversion ci-dessus ne tient pas compte du plan des droites $D$. En fait, sur la sphère de Riemann, pas besoin de savoir où est le point à l'infini pour inverser par rapport à un cercle.

Vassillia · November 2024

Bonjour,

Essayons de vendre la marchandise à @stfj alors, ce que dit @GaBuZoMeu c'est plus ou moins ça :

def simple(vec):
    if len(vec)==4:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2]),numerator(vec[3])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2]),denominator(vec[3])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        vec3=factor(vec[3]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2,vec3])

def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def vecteur(P1,P2):
    return norm(P2)-norm(P1)

def distance2(P1,P2) :
    vec=vecteur(P1,P2)
    return vec*pyth*vec

def ver(P) :
    return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P*pyth*P])

def cercle(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])

def cercle2(centre,point):
    return invQ*ver(norm(centre))- distance2(centre,point)* vector([Linf[0],Linf[1],Linf[2],0])

def centre(cer):
    cen=matQ*cer
    return vector([cen[0], cen[1], cen[2]])

def inversion(cerinv,cer):
    var('k bi1 bi2 bi3')
    ksol=solve([(k*cerinv+cer)*matQ*cerinv==0],k)
    cere=ksol[0].rhs()*cerinv+cer
    eq1=bi1*cerinv+bi2*cere-bi3*cer
    sol=solve([eq1[0]==0,eq1[1]==0,eq1[2]==0,eq1[3]==0],bi1,bi2)
    harmonique=-sol[0][0].rhs()*cerinv+sol[0][1].rhs()*cere
    return harmonique

#version coordonnées cartésiennes augmentées
S=1 ; Linf=vector([0,0,1]) ; Ox=vector([1,i,0]) ; Oy=vector([1,-i,0]) #ombilics
pyth=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]) #cercle de centre (0,0) et de rayon 0
matW=matrix([[0,1,0],[-1,0,0],[0,0,0]]) #point à l’infini
matM=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]) #orthodir à multiplier par 1/S
invQ=matrix([[-2,0,0,0],[0,-2,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]])
matQ=1/2*matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,-2,0]]) #quartique de l’espace des cycles

var('xA yA xB yB xC yC x y')
A=vector([0,0,1])
B=vector([1,0,1])
C=vector([xC,yC,1])
M=vector([x,y,1])
cerinv=cercle2(A,B)

cerABC=cercle(A,B,C)
cerpointC=invQ*ver(C)
dBC=B.cross_product(C)
cerBC=vector([dBC[0],dBC[1],dBC[2],0])

invABC=simple(inversion(cerinv,cerABC))
invpointC=simple(inversion(cerinv,cerpointC))
invBC=simple(inversion(cerinv,cerBC))
print(factor(invABC*ver(M)))
print(norm(centre(invpointC)))
print(factor(invBC*ver(M)))

Et voilà, on a désormais une jolie procédure inversion "clé en main" qui inverse n'importe quel cercle par rapport au cercle cerinv. En fait, j'aurais sûrement pu faire plus simple en codant mais je voulais suivre le principe proposé.

Si vous voulez inverser des points et bien ... vous les transformez en cercle-point et si vous voulez transformer des droites et bien ... vous les transformez en cercle aussi.

Et alors, j'ai pu vérifier que mon intuition était correcte, l'inversion par rapport à une droite est évidemment une symétrie axiale !

PS : On peut choisir A et B avec des coordonnées quelconques mais je voulais des formules pas trop moches

stfj · November 2024

La géométrie de l'espace des cercles est donnée par Pierre Samuel :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/ed/1yo12dfll2j2.png

Je vais m'assurer que c'est les mêmes formules dans le code de Vassillia.

Le plan est le plan $\mathrm P^2$ des $$M\simeq x:y:z$$avec la droite à l'infini $$\mathcal L_{\infty}\simeq [0,0,1]$$Les ombilics sont $$1:i:0\,\&\, 1: - i : 0$$On sait que $ver: \quad x:y:z\mapsto xz :yz : z^2: x^2+y^2$

pldx1 · November 2024

Bonjour, $\def\pccq{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{4}}\right)}} \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}}$

On appelle intrinsèques les propriétés qui ne changent pas lorsque l'on change de repère. Cela revient à privilégier les propriétés qui sont vues par tous les observateurs. On peut aussi décrire cela en disant que les éléphants gris sont ceux que voient les patients et les soignants, tandis que les éléphants roses ne sont vus que par les patients.

Pour parler des cycles, les calculs se simplifient dramatiquement lorsque l'on intègre les deux ombilics dans le repère. Cela revient à inclure ce que voit Bob, le g.a.r.s qui est du mauvais côté du plan, c.a.d $z:t$ avec ce que voit Alice, la fille qui est de l'autre côté du miroir, c'est à dire $t:\zeta$.

Il convient, évidemment, de choisir une base adaptée pour décrire l'espace des cycles. Cela s'appelle "plongement de Veronese". Un bon choix est $[z t,t^2,\zeta t,z \zeta]$. Et alors l'oeil sort de sa tombe et constate que $u_1 u_3-u_2 u_4=0$. Autrement dit, les Veronese des points tombent sur une quadrique, que l'on note $\mathcal Q$.

Si l'on préfère "voir" plutôt que calculer, on peut adopter le plongement $[2tx,2ty,z\zeta-t^2,z\zeta+t^2]$... L'oeil se met alors à battre des mains. En effet la quadrique $\mathcal Q$ résultante n'est alors rien d'autre que la sphère de Riemann (la vraie, celle qui est sphérique) tandis que $V$ n'est autre que la projection stéréographique !

La propriété utile est que les Veronese des points d'un cycle viennent se placer sur un plan de $\pccq$, caractérisant un élément de l'espace dual (le fameux espace des cycles). Par linéarité, un faisceau de cycles dans $\pcct$ se traduit donc par une droite dans $\pccq$.

L'action d'une inversion $\phi$ sur un faisceau de cycles de $\pcct$ produit un faisceau de cycles. Et donc se traduit dans $\pccq$ par une action $\Phi$ qui envoie une droite sur une droite. On sort de sa poche le théorème fondamental de la géométrie projective, qui caractérise les collinéations des espaces de dimension trois ou plus. Et donc $\Phi$ est semi-linéaire, c'est à dire ou bien linéaire tout court, ou bien linéaire à une conjugaison près.

Si, de plus, $\Phi$ est involutive, les valeurs propres possibles (à une homothétie près) sont $+1,+1,-1,-1$ et $+1,+1,+1,-1$. Le premier cas correspond à une homographie à la Cremona. Le second cas décrit une homologie, le plan fixe étant le plan polaire du point fixe isolé.

Comme d'habitude, les calculs permettent de prouver. Mais, pour ce qui est de la conviction, les pas-calculs sont plus efficaces.

Cordialement, Pierre.

stfj · November 2024

Bonjour

Je continue d'essayer d' "acheter la marchandise " de Vassillia selon ses propres mots plus haut :

Je reconnais dans

_________________________________________________________________

matQ=1/2*matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,-2,0]]) #quartique de l’espace des cycles

______________________________________________________________________

la matrice très utile que j'ai utilisée récemment pour mesurer l'angle entre deux cercles par exemple. Cela est expliqué de façon très pratique dans Geometry : a comprehensive course de Pedoe$^1$, et de façon un peu plus rapide dans Géométrie projective de Pierre Samuel.

______________________________

$^1.-$ Livre qui débute par cet extrait

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/s4/4wn1vnyaps2r.png

Et se poursuit par la mise en pratique de l'idée en question :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/u0/sc1f9dzz34n5.png

(Je remercie pldx1 pour cette jolie référence et @Thierry Poma pour sa patience devant mes déterrages compulsifs qui j'espère n'auront pas été vains.)

Cordialement

Inversion et espace des cercles

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion