Une petite relation

Jean-Louis Ayme
Jean-Louis Ayme
dans Géométrie
Bonjour,

en quelques lignes...

1. ABCD un quadrilatère convexe,
2. E, F les points d'intersection de (AC) et (BD), (AD) et (BC)
3. X, Y les points d'intersection de (AE) resp. avec (CD), (AB). 

Question :  : EF/EY = 2.XF/XY.

Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Après rectification d'une typo (remplacer $(AE)$ par $(EF)$), en complexes:
    % Jean-Loyis Ayme - 23 Août 2024 - Une petite relation

clc, clear all

syms a b c d aB bB cB dB % 4 points A B C D quelconques

[pac qac rac]=DroiteDeuxPoints(a,c,aB,cB); % Droite (AC)
[pbd qbd rbd]=DroiteDeuxPoints(b,d,bB,dB); % Droite (BD)
[e eB]=IntersectionDeuxDroites(pac,qac,rac,pbd,qbd,rbd); % Point E

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB); % Droite (AD)
[pbc qbc rbc]=DroiteDeuxPoints(b,c,bB,cB); % Droite (BC)
[f fB]=IntersectionDeuxDroites(pad,qad,rad,pbc,qbc,rbc); % Point F

[pab qab rab]=DroiteDeuxPoints(a,b,aB,bB); % Droite (AB)
[pcd qcd rcd]=DroiteDeuxPoints(c,d,cB,dB); % Droite (CD)
[pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB); % Droite (EF)
[x xB]=IntersectionDeuxDroites(pcd,qcd,rcd,pef,qef,ref); % Point X
[y yB]=IntersectionDeuxDroites(pab,qab,rab,pef,qef,ref); % Point Y

Nul=Factor((f-e)/(y-e)-2*(f-x)/(y-x))
%  On trouve Nul=0 donc EF/EY = 2.XF/XY
    De plus, $ABCD$ n'a aucune raison d'être convexe.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Merci Rescassol pour avoir rectifié l'énoncé....

    Je relance... en revenant à une suite de relations...

    Sincèrement
    Jean-Louis

  • RHOM
    RHOM
    Modifié (August 2024)
    Jean-Louis Ayme a dit :
    Bonjour,

    en quelques lignes...

    1. ABCD un quadrilatère convexe,
    2. E, F les points d'intersection de (AC) et (BD), (AD) et (BC)
    3. X, Y les points d'intersection de ($\color{red}AE$) resp. avec (CD), (AB). 

    Question :  : EF/EY = 2.XF/XY.

    Sincèrement
    Jean-Louis
    Salut à tous
    $EF$ à la place de $AE$. J'utilise les mesures algébriques pour éviter de spécifier les différentes positions.
    $(X,Y;E,F)=-1$ donc $\dfrac{\overline{XF} }{\overline{FY}}=$  $   \dfrac{\overline{EX} }{\overline{ EY}}$  ainsi 
     $\dfrac{\overline{EF} }{\overline{ EY}}=\dfrac{\overline{EX} }{\overline{ EY}}+\dfrac{\overline{XF} }{\overline{ FY}}=$   
      $\overline{XF}  (\dfrac{1}{\overline{EY}}+$ $  \dfrac{1}{\overline{FY}})$ 
    en plus   on déduit de la moyenne harmonique que $\dfrac{2}{\overline{XY}}=\dfrac{1}{\overline{EY}}+\dfrac{1}{\overline{FY}} )$ par suite le résultat s'en découle .

    cordialement
    RH HAS
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour

    •   D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère complet''  
         appliqué au quadrilatère FDEC, le quaterne (F, E, X, Y) est harmonique.

    •    Une chasse de rapports arithmétiques :

    * par définition,                        XF / XE = YF / YE

    * par décomposition,               XF / (YX - YE) = (YE + EF) / YE

    * par division et transposition, XF / (YX - YE) – 1 = EF / YE

    * par addition,                          [XF – (YX – YE)] / (YX - YE) = EF / YE

    * par linéarité,                          [XF – (YX – YE) + EF] / (YX – YE + YE) = EF / YE

    * par réduction,                        [XF – XE + EF] / XY = EF/YE

    * par réduction,                        [XF + FX] / XY = EF/YE

    •    Conclusion :                         2.FX / XY = FE / EY.

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Toujours ce manque de grandeurs orientées, c'est un peu énervant à la longue!
    C'est toujours la même histoire!
    On a une division harmonique $(E,F,X,Y)=-1$ (Lebossé-Hémery, Classe de Seconde) et il suffit de se rappeler comment le groupe symétrique $\mathbb S_4$ opère sur le birapport.
    Mais évidemment comme le birapport a disparu en compagnie de toute la géométrie projective, on a plus aucune raison de le savoir!
    Amicalement
    pappus
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Exercice pour débutant, figure simple...orientation non nécessaire...on peux tout compliquer si on le désire...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • stfj
    stfj
    Modifié (November 2024)
    Bonjour
    ____________________
    def norm(P):
        return P/(Linf*P)

    def vecteur(A,B):
        return norm(B)-norm(A)

    var('u v w')
    A=vector([1,0,0])
    B=vector([0,1,0])
    C=vector([0,0,1])
    D=vector([u,v,w])
    Linf=vector([1,1,1])

    AB=A.cross_product(B)
    CD=C.cross_product(D)
    BC=B.cross_product(C)
    DA=D.cross_product(A)
    BD=B.cross_product(D)
    CA=C.cross_product(A)
    E=BD.cross_product(CA)
    F=DA.cross_product(BC)
    EF=E.cross_product(F)
    X=EF.cross_product(AB)
    Y=EF.cross_product(CD)

    print(factor((vecteur(E,F)/vecteur(E,Y))/(vecteur(X,F)/vecteur(X,Y))))
    print(factor((vecteur(E,Y)/vecteur(E,X))/(vecteur(F,Y)/vecteur(F,X))))
    ________________________________
    permet de démontrer que $$\boxed{\frac{\overrightarrow{EF}}{\overrightarrow{EY}}/\frac{\overrightarrow{XF}}{\overrightarrow{XY}}=2}.\square$$Cordialement
    __________________
    Il est tout aussi trivial (probablement à la portée de n'importe quel élève de Seconde muni de ces outils) que $$(X,Y,F,E)=-1$$autrement dit "les diagonales partagent le quadrilatère complet harmoniquement". Evidemment si l'on fournit aux gens une petite cuiller pour creuser dans la terre un trou aussi profond que possible, il ne faut pas s'étonner qu'ils en creusent un tout petit; alors qu'avec une pelle on en creuse un bien plus grand :)

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français