Pour moi, ça veut dire beaucoup(Feuerbach)
Bonjour,
Le cercle $\mathcal E$ d'Euler d'un triangle est tangent au cercle inscrit et aux exinscrits.
Je m'intéresse à des démonstrations du théorème de Feuerbach, qui sans être un détail pour vous, est sans doute archi-connu. Mais j'espère que ce post aura tout de même un peu d'intérêt.
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Réponses
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Bonjour,
Tu devrais pouvoir en déduire que leur axe radical est $\left[\dfrac{1}{b-c},\dfrac{1}{c-a},\dfrac{1}{a-b}\right]$.
Cordialement,Rescassol -
Bonjour à tousJ'avais fait ces calculs (que j'ai conservés) dans le triangle médial $A'B'C'$ quand je préparais l'agrégation, bien longtemps avant sa réforme.On s'intéressait encore à ce genre de niaiseries!Je ne donne que le résultat, j'ai la flemme de tout réécrire:Cercle d'Euler: $a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$Cercle inscrit: $a^2yz+b^2zx+c^2xy-(x+y+z)\big((b-c)^2x+(c-a)^2y+(a-b)^2z\big)=0$axe radical: $(b-c)^2x+(c-a)^2y+(a-b)^2z=0$Point de Feuerbach: $\big((a(a-b)(a-c):b(b-c)(b-a):c(c-a)(c-b)\big)$ dans le triangle médial $A'B'C'$$\big((b-c)^2(b+c-a):(c-a)^2(c+a-b):(a-b)^2(a+b-c)\big)$ dans le triangle de référence $ABC$.Nostalgie!AmicalementpappusPSCalculs faits à la main, cela va sans dire!
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L'axe radical de $\mathcal E$ et de $\mathcal I$ est évidemment dans ABC $$[(s-a)^2,(s-b)^2,(s-c)^2]$$ou encore $$[(s-a)^2,,]$$Sauf que cela ne fonctionne pas sous geogebra.(?!)
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Bonjour,
Attention, l'axe radical, comme les autres équations et coordonnées ne sont évidemment pas les mêmes par rapport au triangle $ABC$ ou par rapport au triangle $A'B'C'$.
Cordialement,
Rescassol
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Sans aller jusqu'à l'agrégation, le théorème de Feuerbach était exposé aux élèves de Terminale Math-Elem, avant 1968, comme application de l'inversion, sans calculs algébriques interminables. Voir comme d'habitude :Lebossé, Hémery, Géométrie, Classe de Mathématiques, Fernand Nathan 1961, n° 402, p. 256.Si l'on en a assez de cette référence trop souvent sollicitée, on peut recourir à d'autres manuels de la même époque pour cette classe : Lespinard-Pernet (André Desvigne), Foulon (Magnard), Cagnac-Thiberge (Masson), Maillard-Millet (Hachette), et que sais-je encore...
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Il aura fallu 4000 ans d'histoire des mathématiques pour arriver au théorème de Feuerbach et 3 ans au LH.
Un cercle mixtilinéaire de $A'B'C'$?
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Bonjour à tousOn a la généralisation suivante:1° Tout cercle podaire est sécant avec le cercle inscrit.2° Lieu des points du plan dont le cercle podaire est tangent au cercle inscrit, (cubique connue):$$a^2(b^2+c^2-a^2)x(c^2y^2-b^2z^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)y(a^2z^2-c^2x^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)z(b^2x^2-a^2y^2)=0$$AmicalementpappusPSSur ma figure, la cubique est tracée en rouge.J'ai choisi un point $M$ sur la cubique, tracé son cercle podaire, tangent au cercle d'Euler en un point $T$, orthopôle de la droite $OM$.Quels sont les points du cercle circonscrit dont les droites de Simson sont tangentes au cercle d'Euler?
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Bonjour,
% Cercle inscrit: f(x,y,z)=4*(a^2*y*z+b^2*x*z+c^2*x*y) - (x+y+z)*((-a+b+c)^2*x+(a-b+c)^2*y+(a+b-c)^2*z); % Cercle d'Euler: g(x,y,z)=Sa*x^2 + Sb*y^2 + Sc*z^2 - a^2*y*z - b^2*z*x - c^2*x*y; Res=Factor(resultant(f,g,z)) % ((a-c)^2*(a-b+c)*x - (b-c)^2*(b-a+c)*y)^2 est en facteur dans Res % Il y a une solution double, d'où tangence
Et que grinchent les ronchons, et que ronchonnent les grincheux .............
Cordialement,
Rescassol
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Mon cher RescassolTu ne vas pas t'y mettre aussi!Tout le monde a bien compris que je n'ai rien contre les calculs et j'ai montré depuis des années sur ce forum que moi aussi je n'avais pas peur d'en faire.Seulement j'apprécie aussi les autres solutions quand elles existent.Je ne me cantonne pas à une seule méthode!Amitiéspappus
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Bonsoir Pappus,
Pourquoi t'es tu senti visé ? Tu n'étais pas en cause, cette fois-ci.
Cordialement,
Rescassol
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pappus a dit :Bonjour à tousOn a la généralisation suivante:1° Tout cercle podaire est sécant avec le cercle inscrit.2° Lieu des points du plan dont le cercle podaire est tangent au cercle inscrit, (cubique connue):$$a^2(b^2+c^2-a^2)x(c^2y^2-b^2z^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)y(a^2z^2-c^2x^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)z(b^2x^2-a^2y^2)=0$$AmicalementpappusPSSur ma figure, la cubique est tracée en rouge.J'ai choisi un point $M$ sur la cubique, tracé son cercle podaire, tangent au cercle d'Euler en un point $T$, orthopôle de la droite $OM$.Quels sont les points du cercle circonscrit dont les droites de Simson sont tangentes au cercle d'Euler?c ' est Mccay cubic dont les points $M$ verifient $ O,M$ est son isogonal $M^*$ sont alignés.ainsi les points dont leur simson line est tangente au cercle d'euler sont l' intersection de la cubique avec le circoncercle où les 3 points du cercles $ P_i$ qui verifient $P_i,P_i*,O$ sont alignésainsi les cevianes de $AP_1,AP_1*$ trisectent $HAO$ voir la figure idem pour les autrescordialement
RH HAS
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Bonsoir,
> Quels sont les points du cercle circonscrit dont les droites de Simson sont tangentes au cercle d'Euler?Ce sont les racines cubiques de $-s_3=-abc$, où $a,b,c$ sont les affixes de $A,B,C$.
Elles forment un triangle équilatéral qui rappelle quelque chose ...
Cordialement,
Rescassol -
Merci RescassolComment ai-je obtenu l'équation de cette cubique dans la mesure où j'ai fait ce calcul à la main et non avec un logiciel de calcul formel?Il reste la question n°1 (résolue, je pense dans le livre des Morley) et aussi cette histoire d'orthopôle!Quelle est la configuration des droites de Simson des sommets du triangle symétrique par rapport au centre du cercle circonscrit du triangle (équilatéral) qui te rappelle quelque chose?Amitiéspappus
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Bonsoir à tous,
Le symétrique du triangle circum-tangentiel par rapport à $O$ ?Rescassol a dit :> Quels sont les points du cercle circonscrit dont les droites de Simson sont tangentes au cercle d'Euler?Ce sont les racines cubiques de $-s_3=-abc$, où $a,b,c$ sont les affixes de $A,B,C$.
Elles forment un triangle équilatéral qui rappelle quelque chose ...
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Bonjour,Je m'étais jusqu'ici intéressé au point de Feuerbach associé au cercle inscrit et au cercle d'Euler. sagemath via____________________________________________def norm(P):
return P/(Linf*P)
def vecteur(P1,P2):
return norm(P2)-norm(P1)
def perp(droite,point):
Pinf=matM*droite
return point.cross_product(Pinf)
def simple(vec):
if len(vec)==3:
num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
facteur=num/den
vec0=factor(vec[0]/facteur)
vec1=factor(vec[1]/facteur)
vec2=factor(vec[2]/facteur)
return vector([vec0,vec1,vec2])
def distance2(P1,P2) :
vec=vecteur(P1,P2)
return vec*pyth*vec
def ver(P) :
return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P*pyth*P])
def cercle(vec1,vec2,vec3):
mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
c1=det(mat[(1,2,3),:])
c2=-det(mat[(0,2,3),:])
c3=det(mat[(0,1,3),:])
c4=-det(mat[(0,1,2),:])
return vector([c1,c2,c3,c4])
def gram(cer1,cer2):
return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2
def centre(cer): #TriangleCenter(P1,P2,P3,3)
cen=matQ*cer
return vector([cen[0], cen[1], cen[2]])
def solbar(vec):
if len(vec)==3:
vec0=vec[0].rhs()
vec1=vec[1].rhs()
vec2=vec[2].rhs()
return vector([vec0,vec1,vec2])
def cercle2(centre,point):
return invQ*ver(norm(centre))- distance2(centre,point)* vector([Linf[0],Linf[1],Linf[2],0])
#version coordonnées barycentriques
var('a b c' , domain='positive') #a=Distance(B,C) ; b=Distance(C,A) : c=Distance(A,B)
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2 # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
Linf=vector([1,1,1])
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]]) #cercle circonscrit à ABC
matM=matrix([[a^2,-Sc,-Sb],[-Sc,b^2,-Sa],[-Sb,-Sa,c^2]]) #orthodir à multiplier par 1/S
matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2) #quartique de l’espace des cycles
invQ=matrix([[0,c^2,b^2,1],[c^2,0,a^2,1],[b^2,a^2,0,1],[1,1,1,0]])
I=vector([a,b,c])
Ia=vector([-a,b,c])
A=vector([1,0,0]);B=vector([0,1,0]);C=vector([0,0,1])
AB=A.cross_product(B);BC=B.cross_product(C);CA=C.cross_product(A)
Ia=simple(BC.cross_product(perp(BC,I)));Ib=simple(CA.cross_product(perp(CA,I)));Ic=simple(AB.cross_product(perp(AB,I)))
inscrit=cercle(Ia,Ib,Ic)
Ap=norm(B)+norm(C);Bp=norm(A)+norm(C);Cp=norm(A)+norm(B)
euler=cercle(Ap,Bp,Cp)
J=simple(centre(euler))/8
print('test de tangence =>',factor(gram(inscrit,euler)))
var('x,y,z')
M=vector([x,y,z])
sol=solve([inscrit*ver(M)==0,euler*ver(M)==0,Linf*M==1],x,y,z)
Fe=simple(solbar(sol[0]))
print('I =',I)
print('J =',J)
print('Fe =',Fe)
print('test alignement =>',factor(det(matrix([I,J,Fe]))))
Ia=vector([-a,b,c])
Iaa=perp(BC,Ia).cross_product(BC)
print(Iaa)
exinscrit=cercle2(Ia,Iaa)
print('test de tangence =>',factor(gram(exinscrit,euler)))
var('x,y,z')
M=vector([x,y,z])
sol=solve([exinscrit*ver(M)==0,euler*ver(M)==0,Linf*M==1],x,y,z)
Fe=simple(solbar(sol[0]))
print('Fe =',Fe)___________________________________fournit de nombreux résultats dont les coordonnées barycentriques du point de tangence du A-cercle exinscrit et du cercle d'Euler. Merci @Vassillia.
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Bonjour,
Sincèrement
Jean-Louis
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BonjourLebossé, Hémery, Géométrie, Classe de Mathématiques, Fernand Nathan 1961, n° 402, p. 256, (lien fourni par @Chaurien )est sûrement intéressant. Il fait appel aux points n°259 (qui n'est pas trivial a priori), n°261, à des connaissances sur l'inversion, et enfin au point n°62.Les "calculs algébriques interminables" que j'ai présentés ci-dessus permettent de résoudre ici, ici, ici, ici.. Si on veut bien se pencher sur les quelques lignes de code(facilement traduisibles en calculs algébriques), ce sont les mêmes qui sont ré- et réutilisées, et réutilisables à l'occasion.Par ailleurs, si j'ai bien compris ce que Pierre Samuel écrit dans sa préface à Géométrie projective$^1$, c'est parce que les calculs algébriques permettant de démontrer les résultats géométriques sont devenus banals, qu'on peut les présenter à des élèves du secondaire sous une forme "synthétique"("pure-thought"), de laquelle les calculs sont absents. Mais les calculs existent bien du point de vue de l'enseignant qui se doit de les connaître.Il est enfin frappant que Karl Feuerbach fut avec Möbius l'inventeur des coordonnées homogènes.Cordialement._____________________$^1.-$
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Bonjour!
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