Méthode originale ?

Zebilamouche
Zebilamouche
Modifié (November 2024) dans Analyse
Bonsoir , voici un énoncé : Si $x$ suite réelle >0 décroissante tel que $x_0 = 1$ Montrer que

$\sum_{n\geqslant 0} \frac{x_n^2}{x_{n+1}} \geqslant 4$

Bon déja il est clair que $x_n$ tend vers $0$ autrement la série diverge par $TLM$ et c'est ok.

Pour aboutir à ce résultat il est plutot naturel d'utiliser des inégalités du type Cauchy-Schwarz, carré positif ou même mauvais élèves pour les connaisseurs.

En revanche une méthode proposée par l'exercice m'a vraiment interloqué : 
 Si $S(x)$ désigne la somme à étudier sous reserve de convergence; posons pour $\lambda >0$ : 
$f(\lambda) : \inf\{S(x), (x)   \text{suite réelle décroissante qui tend vers $0$} et\ x_0 = \lambda\}$

Il faut donc calculer $f(1)$. D'abord par homogénéité de $S$ on a $f(\lambda) = f(1) \lambda$.

Mais d'autre part et c'est là la folie : $f(\lambda) = \inf \{\lambda^2/\beta + f(1)\beta, \beta \in ]0,\lambda]\}$ (résultat assez facile à montrer) et à partir de la $f(1) = 4$. 

Mais avez-vous déjà vu ce genre de raisonnement pour étudier des minorations/majorations. Est-ce une théorie ? Est ce que ça a un nom ? En tout cas je suis certain cette stratégie surprenante ne sort pas de nulle part ....


Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je n'ai pas compris l'énoncé. Les hypothèses sont seulement $(x_n)$ est une suite décroissante positive avec $x_0=1$?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Zebilamouche
    Zebilamouche
    oui j ai oublié montrer que
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Modifié (November 2024)
    Sans hypothèse supplémentaire pour assurer la convergence de la série, cela ne marche pas.
    Si je vois bien la suite $x_n=\dfrac{1}{1+n}$ est un contre exemple. La série ne converge pas.
    Ou bien peut-être il faut remplacer par la conclusion: ou bien la série diverge vers l'infini ou bien elle vérifie l'inégalité donnée.

    PS:
    Sans doute qu'il vaut mieux supposer que la série converge dans la liste des hypothèses car une série de termes positifs qui ne converge pas diverge toujours vers l'infini.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bibix
    Bibix
    Oui, c'est la programmation dynamique qui est une technique classique pour résoudre des problèmes d'optimisation (séquentielle). Typiquement, on utilise une équation (dite de Bellman) qui est dans ton cas $f(\lambda) = \inf\{\frac{\lambda^2}{\beta} + f(\beta) \mid \beta \in ]0,\lambda[\}$.
  • Zebilamouche
    Zebilamouche
    @Fin de partie s'il n'y a pas convergence l'énoncé reste vrai non ?
  • Zebilamouche
    Zebilamouche
    Parfait @Bibix on étudie ça où ?
  • JLapin
    JLapin
    Oui, si on convient que la somme d'une série divergente à termes positifs vaut $+\infty$. Sinon, l'énoncé n'a tout simplement pas de sens.
  • Zebilamouche
    Zebilamouche
    Oui c'est ça mais ça reste dérisoire 
  • JLapin
    JLapin
    Zebilamouche a dit :
    Oui c'est ça mais ça reste dérisoire 
    Pourquoi ce "mais" (sans parler de l'adjectif qui suit) ? N'ai-je pas répondu à la question que tu as posée ?
    Si tu veux progresser en maths, essaye de te forcer à la plus grande précision dans l'utilisation de la langue française.
    Ici, tu aurais pu écrire quelque chose comme :  
    "Merci pour la réponse qui confirme ce que je pensais. Comme je n'en n'étais pas sûr, j'ai préféré poser la question. Désolé pour le dérangement."
  • Zebilamouche
    Zebilamouche

     
    Ce "mais" peut-être source de malentendu : ce genre de confusion dans l'énoncé (énoncé d'oral) est à mon sens volontaire permettant pour le jury de discuter de tels détails avant de démarrer un exercice et c'est souvent ce qui arrive.
    Moi qui venait pour découvrir une théorie ce genre de points ne m'intéressent pas vraiment

    @JLapin ne le prends pas personnellement, je parle juste sur le forum comme je le ferais dans une discussion de maths à l'oral.

    Mais merci pour ta réponse
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (November 2024)

    Bonjour,
    Voici comment j'ai vu les choses:
    $\mathcal S: =\left\{x\in\R_{>0}^{\N} \mid x_0=1,\:x \text{ décroissante },\:\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{x_n^2}{x_{n+1}}\text {converge}\right\},\quad \forall x \in \mathcal S,\:\:S(x) :=\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{x_n^2}{x_{n+1}}$
    Soit $\:\:f:\mathcal S\longrightarrow \mathcal S, \:\:x \longmapsto f(x)=y \:\:\text { tel que }\:\:\forall n \in \N,\:\:y_n =\dfrac{x_{n+1}}{x_1},\quad m :=\inf\big \{ S(x) \mid x \in \mathcal  S\big\}.\quad m>1.$
    $\forall \varepsilon>0, \:\exists x\in \mathcal S\:\:\text { tel que }\: m\leqslant S(x)< m+ \varepsilon.\quad$ Alors : $\:S(x) =\dfrac 1{x_1} +x_1 S(y),\quad S(y)x_1^2-S(x)x_1+1=0.$
    Le discriminant de $S(y)X^2-S(x)X+1\: $ est positif:$\:\:\quad 0\leqslant S(x)^2-4S(y) <(m+\varepsilon)^2 -4m,$
    $\forall\varepsilon >0, \:\:m(m-4)+2m\varepsilon +\varepsilon^2>0, \quad \boxed {m\geqslant 4\:\:\square}\quad$ En fait, $\:\boxed{m=4},\:\:$ car si $x_n =2^{-n},\:\: $ alors: $\:\: S(x)=4.$
  • bisam
    bisam
    @LOU16 : Bravo !
    Je ne vois pas à quel moment l'hypothèse de décroissance des suites $x$ de $\mathcal S$ est utilisée.
    Est-ce pour justifier que $m\neq 0$ ?
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (November 2024)
    Bonjour @bisam
    C'est en effet assez subtil :$\quad \:x_1\leqslant x_0$ est utile pour justifier que $\forall x \in \mathcal S, \:S(x)\geqslant 1,$ et donc que $m\neq 0,$ et pour garantir la stabilité de $\mathcal S$ par $f$, on a bien besoin de: $\:\forall x\in \mathcal S,\:\:\forall n\in\N,\: x_{n+1}\leqslant x_n.$

  • bisam
    bisam
    La subtilité est tout de même toute relative... Je n'avais pas bien les yeux en face des trous pour ne pas avoir vu que la fonction $S$ est minorée par $1$.
  • bisam
    bisam
    Pour égayer un peu votre soirée, je propose de généraliser un peu l'exercice précédent.

    On note $D$ l'ensemble des suites décroissantes de réels strictement positifs dont le premier terme est $1$.
    Pour $x\in D$ et un réel $p$ strictement plus grand que $1$, on note $\displaystyle S_p(x)=\sum_{n\in\N} \frac{x_n^p}{x_{n+1}}$, cette somme étant à valeur dans $\R^+\cup\{+\infty\}$.
    On demande de déterminer $m_p=\inf\left(\{S_p(x),x \in D\}\right)$.

    Remarques:
    • L'exercice précédent a prouvé que $m_2=4$.
    • Il est aisé de constater que si $p\leq 1$ alors pour tout $x\in D$, $S_p(x)=+\infty$ donc $m_p=+\infty$. Ce cas est donc volontairement éludé.
    • Je mets en spoiler la réponse que j'ai trouvée.
    On trouve $m_p=\dfrac{p^{\frac{p}{p-1}}}{p-1}$.
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