Une identité amusante avec des intégrales

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Je propose une autre preuve que celle trouvée par LOU16 dans le fil cité par JLapin. Soit le polynôme $P=3X^2-2X^3$, posons $I=[-\frac12;\frac32]$ et $J=[0;1]$. On prouve par récurrence sur $n$ la propriété $Q(n)\colon \int_I P^n=2\int_J P^n$ ET $\int_I XP^n=2\int_J XP^n$. Cette propriété est vraie au rang $n=0$, et on suppose maintenant qu'elle est vraie pour un certain entier naturel $n$.
Tout part de la relation polynomiale suivante :
\[P^{n+1} = \frac13 XP'P^n-\frac16P'P^n+XP^n\quad(R)\]
En intégrant sur $I$ on obtient l'égalité suivante :
\[
\int_I P^{n+1} = \frac1{3(n+1)} \left(\left[XP^{n+1}\right]_I-\int_IP^{n+1}\right)-\frac1{6(n+1)} \left[P^{n+1}\right]_I+\int_I XP^n
\]
Ce qui conduit à la relation:
\[\frac{3n+4}{3n+3}\int_IP^{n+1} = \frac1{3n+3}+\int_IXP^n\]
En intégrant la relation $(R)$ non plus sur $I$ mais sur $J$, on obtient la relation :
\[
\int_J P^{n+1} = \frac1{3(n+1)} \left(\left[XP^{n+1}\right]_J-\int_J P^{n+1}\right)-\frac1{6(n+1)} \left[P^{n+1}\right]_J+\int_J XP^n
\]
Ce qui conduit à la relation:
\[\frac{3n+4}{3n+3}\int_J P^{n+1} = \frac1{6n+6}+\int_IXP^n\]
et donc avec l'hypothèse de récurrence on a $\int_I P^{n+1}=2\int_J P^{n+1}$.
 
 
Pour l'autre égalité, on repart de la relation $(R)$ en multipliant par $X$, on a :
\[XP^{n+1} = \frac13X^2P'P^n-\frac16XP'P^n +X^2P^n = \frac13X^2P'P^n-\frac16XP'P^n -\frac16P'P^n+XP^n\quad(T)\]
En intégrant sur $I$ on obtient l'égalité suivante :
\[
\int_I XP^{n+1} = \frac1{3(n+1)} \left(\left[X^2P^{n+1}\right]_I-2\int_I XP^{n+1}\right)-\frac1{6(n+1)} \left(\left[XP^{n+1}\right]_I-\int_IP^{n+1}\right)
-\frac1{6(n+1)} \left[P^{n+1}\right]_I+\int_I XP^n
\]
Ce qui conduit à la relation:
\[\frac{3n+5}{3n+3}\int_I XP^{n+1} = \frac1{6n+6}\int_I P^{n+1}+\int_IXP^n\]
En intégrant la relation $(T)$ sur l'intervalle $J$ on obtient l'égalité :
\[\frac{3n+5}{3n+3}\int_J XP^{n+1} = \frac1{6n+6}\int_J P^{n+1}+\int_JXP^n\]
ce qui permet de conclure grâce au calcul précédent et l'hypothèse de récurrence, que $\int_I XP^{n+1}=2\int_J XP^{n+1}$.