Recherche série-double pathologique
Auriez-vous vu dans les parages une famille $(u_{k,l})$ indexée par $\mathbb{N}^{*2}$
et que j'ai malencontreusement perdu et ayant les propriétés suivantes :
- Pour tout entier $k \geq 1,$ la série $\sum\limits_{l \geq 1} u_{k,l}$ converge vers un réel $v_k$ ;
- Pour tout entier $l \geq 1$, la série $\sum\limits_{k \geq 1} u_{k,l}$ converge vers un réel $w_l$ ;
- Les séries $\sum\limits_{k \geq 1} v_k$ et $\sum\limits_{l \geq 1} w_l$ convergent et leur somme est égale ;
- Mais la famille $(u_{k,l})$ n'est pas sommable.
Si vous avez rencontré une telle famille, merci de me le signaler.
Réponses
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$u_{k,l}=\frac{(-1)^{k+l}}{kl}$
$v_k=w_k$
$v_k=(-1)^{k-1}\frac{v_1}{k}$.
Mais $(u_{k,l})$ n'est pas sommable, car $\sum_k u_{2k+1,1}=+\infty$ -
Sauf erreur, quelque chose comme$$u_{k,n} = \dfrac{1}{n^4} \Big(\dfrac{1}{1+i/n^2}\Big)^{k-1}$$convient ($i$ désigne le nombre complexe bien connu) mais il y a sans doute plus simple...
-
Bon, il y a plus simple :$$u_{n,k} = \dfrac{(-1)^{n+k}}{nk}$$Edit : oups, je viens de voir le message de Marco... désolé pour la redite !
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et que pensez-vous de la famille définie par $u_{k,l}=\dfrac{(-1)^{k+l}}{k+l}$ ?
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Bonjour!
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